何为至多有限多个例外
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引言
在数学中, 设 $X$ 为任意集合 (有限或无限皆可), 我们经常会遇到以下一些 "黑话", 例如：
- 对任意但至多有限多个例外 (for all but up to finitely many exceptions) $x \in X$, 满足了性质 $P(x)$;
- 对任意除了有限多个 (for all but finitely many) $x \in X$, 满足了性质 $P(x)$;
- 几乎所有的 (for almost all) $x \in X$, 满足了性质 $P(x)$;
- 对无限多个 (for infinitely many) $x \in X$, 满足了性质 $P(x)$.
事实上, 上述 $(1),(2),(3)$ 的陈述是等价的, 皆是指 "尽管有无限种方式使 $x$ 满足了 $P(x)$, 但不满足性质 $P(x)$ 的元素 $x$ 仅有限多个", 用逻辑符号则可表示为： $$
\bigg( \Set{ x \in X : P(x) }\ \text{为无限集} \bigg) \and \bigg( \Set{ x \in X : \neg P(x) }\ \text{为有限集} \bigg)
$$ 而基于 $X$ 的选取不同, 存在不同的语境, 因此可以分类讨论：
- 当 $X$ 为无限集时, 非正式地, 实际上是在指 "存在有限多个不满足 $P(x)$ 的元素, 不过对后续所有无穷多的元素皆满足了 $P(x)$" 这句话, 因此直观上可以体现出来是 "对近乎所有的 $x \in X$ 都满足了性质 $P(x)$, 除了那少得几乎可以忽略不计的有限个元素外", 即 $(3)$ 的陈述.
- 当 $X$ 为有限集时, 显然满足性质 $P(x)$ 的元素是有限多的, 同样地剩下不满足 $P(x)$ 的元素也是有限多的, 即 $\Set{ x \in X : \neg P(x) }$ 同为有限集, 因此只要 $X$ 有限, 就必定满足 $(1), (2), (3)$ 这些等价的陈述.
而前三者恰好蕴含了 $(4)$, 它声称的是 "有无限种方式使 $x$ 满足了 $P(x)$", 具体地： $$
\Set{ x \in X : P(x) }\ \text{为无限集}
$$ 显然陈述 $(1), (2), (3)$ 蕴含了 $(4)$. 下面让我们观察一些例子.
例子
例子 1 (基本例子)
- 几乎所有的自然数都大于 $5$, 除了 $0,1,2,3,4,5 \in \set{ n \in \N : n \leq 5 }$.
- 几乎所有的素数都是奇数, 除了 $2 \in \set{ n \in \N^\times : \text{$n$ 为素数 $\and$ $n$ 为偶数} }$.
- 几乎所有的正偶数都可以被表示为两个素数之和 (同样除了 $2$).
例子 2 (数列极限的定义)
设 $(a_n)_{n \geq 1}$ 为实数列, 观察数列极限 $\ds \lim_{n \to \infin} a_n = L$ 的定义 $\Forall{\epsilon > 0} \Exists{N \in \N^\times} \Forall{n \geq N} | a_n - L | < \epsilon$, 我们对其中的 $n \in \N^\times$ 分类讨论：
- 当 $n \geq N$ 时, 按定义这当然直接满足了 $|a_n - L| < \epsilon$, 即 $\Set{ n \in \N^\times : (n \geq N) \and (|a_n - L| < \epsilon) }$ 为无限集.
- 当 $n < N$ 时, 则至多仅有 $N - 1$ 个元素满足 $|a_n - L| \geq \epsilon$, 即 $\Set{ n \in \N^\times : (n < N) \and (|a_n - L| \geq \epsilon) }$ 为有限集.
因此又可非正式地称为：
- 对任意除了有限多项的 $n \in \N^\times$, 满足 $|a_n - L| < \epsilon$; 或
- 对 充分大 (sufficiently large) 的 $n \in \N^\times$, 满足 $|a_n - L| < \epsilon$.
例子 3 (可以忽略不计的集合)
我们注意到少得几乎 可以忽略不计的集合 (negligible set) 满足了以下规律：
- 空集对于整体来说几乎可以忽略不计;
- 这些可以忽略不计集合的子集, 仍是可以忽略不计的;
- 任意两个可以忽略不计的集合之并, 仍是可以忽略不计的.
我们可以将上述这些抽象地定义为一个代数结构的实例, 例如在序理论中, 存在以下的代数结构：
称资料 $(S, \or, \leq)$ 为一个 并联半格 (join semilattice), 其中：
- $(S, \leq)$ 为有序集;
- 二元运算 $\Map{\or}{S \times S}{S}{(a, b)}{\sup\set{a, b}}$, 即取元素之上确界, 称该运算为 并联 (join).
然后就可以定义其中的子结构：
设 $(S, \or, \leq)$ 为一个并联半格, 且令 $I \sube S$ 为其中的非空子集, 称 $I$ 为 $S$ 的 理想 (ideal) 当同时满足：
- $I$ 为 $S$ 的下截面 $\Forall{x \in I} \Forall{y \in S} y \leq x \implies y \in I$;
- $I$ 为 $S$ 的子半格：$\Forall{x, y \in I} x \or y \in I$.
现在对任意集 $X$, 再令 $(\mathcal{P}(X), \cup, \sube)$ 为并联半格, 则可以定义上述可以忽略不计的集合为其中的理想 $I$ 了.
例子 4 (形式线性组合)
我们通常会用形式 (或有限多的) 线性组合去定义一些代数结构 (如自由阿贝尔群, 线性空间等) 中的元素, 而它的准确定义为：
设 $S$ 为任意集, $S$ 中元素的 形式线性组合 (formal linear combination) 为一函数 $a_{(-)} : S \to \Z$, 使得同时满足：
- $S$ 中有限多个元素之和可以被写为 $\ds \sum_{s \in S} a_s \cdot s$, 其中 $a_s \in \Z$ 为系数;
- 其中仅 对有限多个 (for finitely many) $a_s$ 不为零.
其中的 "仅对有限多个 $a_s \neq 0$" 这个陈述等价于 "对任意除了有限多个 $a_s \in \Z$, 满足了 $a_s = 0$".