环论 3 - 交换环分解

Wed, 01 May 2024 00:00:00 +0000

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本文最后更新日期：2024-05-01</p> </div> </blockquote>
注释</h3>
我们在整数环 $\Z$ 上研究的一些数论性质皆可被推广至更广义的代数结构上, 例如：</p>

整除性, (最大) 公因数, 素数可被推广至一般的 (含幺) 交换环上.</li>
算术基本定理可被抽象并推广为唯一分解环.</li> </ul>
然而并不是所有 (含幺) 交换环 $R$ 中的一对元素都必定存在最大公因数, 又或是对每个 $R$ 中的元素都可以被唯一分解的, 除非 $R$ 本身是一个主理想整环. 换句话亦即是说在整除性上, 主理想整环的很好地继承了 $\Z$ 的这些性质 (或直接视作 $\Z$ 的推广).</p>
即便主理想整环 $R$ 中任意一对元素 $a, b \in R$ 皆存在最大公因数 $\gcd(a, b) \in R$, 但这不意味着我们总是可以使用欧几里得算法去求得 $\gcd(a, b)$, 除非 $R$ 本身是个欧几里得环. 而欧几里得整环就是将欧几里得算法抽象而来的一个环, 并且可以证明任意的欧几里得整环都必定是主理想整环 (反之不然).</p>
定义 3.1 (整除, 相伴)</h3>
设 $R$ 为交换环, 非零元 $a \in R$ 以及 $b \in R$：</p>

称 $a$ 整除 (divide)</strong> $b$, 或称 $b$ 是 $a$ 的 倍数 (multiple)</strong>, 当 $\Exists{x \in R} ax = b$, 并记为 $a \mid b$;</li>
称 $a, b$ 是相伴的 (associates)</strong>, 或称 $b$ 是 $a$ 的相伴元 (associate element)</strong>, 当 $(a \mid b) \and (b \mid a)$.</li> </ul>
定理 3.2 (整除与相伴的基本性质)</h3>
设 $R$ 为含幺交换环以及 $a, b, u \in R$, 下述结论成立：</p>

$a \mid b \iff (b) \sub (a)$;</li>
$\text{$a, b$ 相伴} \iff (a) = (b)$;</li>
$\text{$u$ 是单位} \iff \b{\Forall{r \in R} u \mid r} \iff (u) = R$;</li>
$a, b$ 相伴构成等价关系;</li>
若 $\Exists{\text{单位 $u \in R$}} a = bu$, 则 $a, b$ 仍相伴;</li>
若 $R$ 是整环, 那么 $(5)$ 的逆亦成立.</li> </ol>
证明</h5>

$(\rArr)$ 由于 $R$ 为含幺交换环, 因此 $(b) = bR$, 那么对任意 $br \in bR$ 由 $a \mid b$ 可得 $a \mid br$, 这说明 $\Exists{r' \in R} br = ar' \in aR = (a)$.</p>
$(\lArr)$ 由于 $b \in (b) \sub (a)$, 这说明 $\Exists{r \in R} b = ar$.</p> </li>

显然的, 由 $(1)$ 立得.</p> </li>

$u$ 是单位当且仅当 $\Exists{v \in R} uv = 1_R$, 这又当且仅当 $\Forall{r \in R} u(vr) = r$, 因此 $u \mid r$.</p>
另一方面, 而由于单位 $u$ 可整除环 $R$ 中所有元素, 这当且仅当 $\Forall{r \in R} \Exists{r' \in R} r = ur'$, 因而 $R \sub (u)$ 并且 $(u) \sub R$ 是恒有的, 遂得 $(u) = R$, 反之亦然.</p> </li>

若 $a, b$ 相伴, 由 $(2)$ 当且仅当 $(a) = (b)$, 因此集合间的等价显然是个等价关系.</p> </li>

由于 $u \in R$ 是单位, 则 $\Exists{v \in R} uv = 1_R$, 现在对等式 $a = bu$ 两侧分别乘以 $u$ 的逆 $v$ 则得 $av = b$, 连同 $a = bu$ 易知 $a, b$ 是相伴的.</p> </li>

设 $a, b$ 相伴, 那么按定义有 $\Exists{u \in R} a = bu$ 以及 $\Exists{v \in R} b = av$, 将 $b$ 代入前面的等式易得 $a = avu$, 再由 $R$ 是整环, 也就当且仅当 $R$ 中同时满足左/右消除律, 因此得 $vu = 1_R$. 另一方面再将 $a$ 代入后面的等式 $b$ 同样可得 $uv = 1_R$, 因此 $u$ 的确是个单位.</p> </li> </ol>
定义 3.3 (不可约, 素元)</h3>
设 $R$ 为含幺交换环：</p>

称 $c \in R$ 是 不可约的 (irreducible)</strong>, 当 $(\text{$c$ 非零非单位}) \and \b{\Forall{a, b \in R} c = ab \implies \text{$a$ 或 $b$ 是单位}}$.</li>
若 $c \in R$ 不是不可约的, 则称之为 可约的 (reducible)</strong>.</li>
称 $p \in R$ 是素元 (prime)</strong>, 当 $(\text{$p$ 非零非单位}) \and \b{\Forall{a, b \in R} p \mid ab \implies (p \mid a) \or (p \mid b)}$.</li> </ul>
例子 3.4</h3>

考虑整数环 $\Z$, 显然素数 $p$ 与 $-p$ 皆是该环中的素元 (环 $\Z$ 的单位仅有 $-1$ 及 $1$), 而且它们也是不可约的.</li>
显然 $\overline{2} \in \Z_6$ 是素元, 但它是可约的, 例如 $\overline{2} = \overline{2} \cdot \overline{4}$ 但无论是 $\overline{2}$ 还是 $\overline{4}$ 皆不为 $\Z_6$ 的单位.</li> </ul>
定理 3.5 (整环的基本性质)</h3>
设 $R$ 为整环以及其中的非零元 $p, c \in R$：</p>

$p$ 是素元 $\iff$ $(p)$ 是非零素理想;</li>
$c$ 不可约 $\iff$ $(c)$ 是集合 $S \coloneqq \Set{ \text{$R$ 的主理想} }$ 中的真极大理想;</li>
所有 $R$ 中的素元皆是不可约的;</li>
若 $R$ 是主理想整环, 则 $p \in R$ 是素元 $\iff$ $p$ 不可约;</li>
任意 $R$ 中不可约元 (或素元) 的相伴元亦不可约 (亦为素元);</li>
$R$ 中不可约元唯一的除数是它的相伴元或 $R$ 中的单位.</li> </ol>
证明</h5>

$(\rArr)$ 利用素理想测试, 即须证明 $\bigg((p) \neq R \bigg) \and \b{\Forall{a, b \in R} ab \in (p) \implies a \in (p) \or b \in (p)}$, 以及 $(p)$ 非零：</p>
设任意 $ab \in (p)$, 由 $p$ 是素元的定义可得当 $p \mid ab$ 时有 $p \mid a$ 或 $p \mid b$, 因此又有 $a \in (a) \sub (p)$ 或 $b \in (b) \sub (p)$ 成立.</p>
另一方面, 由于 $p$ 非零, 且 $R$ 是整环, 那么该环中任意一个非零元与 $p$ 相乘都不可能是 $0$, 因此 $(p) \neq (0)$. 此外, 由于 $p$ 非单位再由定理 3.2</a> 的 $(3)$ 立得 $(p) \neq R$.</p>
$(\lArr)$ 由于 $(p)$ 是素理想且 $R$ 可交换, 有 $\Forall{a, b \in R} ab \in (p) \implies a \in (p) \or b \in (p)$, 显然属于 $(p)$ 的元素皆可被 $p$ 整除, 立得： $$
\Forall{a, b \in R} p \mid ab \implies (p \mid a) \or (p \mid b)

$$ 此外, 由于 $(p)$ 非零, 它不可能被 $0$ 所生成, 因此 $p \neq 0$, 并且按照素理想的定义得 $(p) \neq R$, 再由定理 3.2</a> 的 $(3)$ 立即得证.</p> </li>

$(\rArr)$ 我们希望证明 $(c)$ 是所有 $R$ 中主理想的真极大理想, 按 $(c)$ 的定义则应证明： $$
\bigg((c) \neq R \bigg) \and \b{ \Forall{\text{主理想 $(d) \in S$}} (c) \sub (d) \sub R \implies \big((d) = (c) \big) \or \big( (d) = R \big) }

$$ 由于 $c$ 非单位, 由定理 3.2</a> 的 $(3)$ 立得 $(c) \neq R$. 此外对任意主理想 $(d) \in S$, 由定理 3.2</a> 的 $(1)$ 知道 $(c) \sub (d)$ 当且仅当 $d \mid c$, 亦即 $\Exists{r \in R} c = dr$, 那么同由 $c$ 不可约的定义得 $d$ 或 $r$ 为单位, 假设 $d$ 为单位时则 $(d) = R$, 此外再由定理 3.2</a> 的 $(5)$ 得知当 $r$ 为单位且 $c = dr$ 时 $c, d$ 相伴, 亦即 $(c) = (d)$.</p>
$(\lArr)$ 按 $c$ 不可约的定义, 须证明 $(\text{$c$ 非零非单位}) \and \b{\Forall{a, b \in R} c = ab \implies \text{$a$ 或 $b$ 是单位}}$：</p>
首先由于 $(c)$ 是真极大理想, 那么 $(c) \neq (0)$, 即该主理想不能由 $0$ 生成, 因此 $c \neq 0$. 此外由于 $(c)$ 是真理想, 因此 $(c) \neq R$ 说明 $c$ 也不是单位.</p>
另一方面, 由于对任意 $a, b \in R$ 皆有 $c = ab$, 那么由定理 3.2</a> 有 $a \mid c$ 或 $b \mid c$, 这又得 $(c) \sub (a)$ 或 $(c) \sub (b)$, 那么由极大理想的定义则有： $$
\big( (a) = (c) \big) \or \big( (a) = R \big) \quad \text{或} \quad \big( (b) = (c) \big) \or \big( (b) = R \big)

$$ 现在考虑左侧的情况, 当 $(a) = R$ 时当然 $a$ 就是单位. 而当 $(a) = (c)$ 时 $\Exists{r' \in R} a = cr'$, 因此 $c = ab = cr'b$, 由整环满足消除律得 $r'b = 1_R$, 因此 $b$ 的确为单位. 对右侧的情况亦是类似的, 最终便证得 $c$ 的确不可约.</p> </li>

设 $p$ 为素元, 显然它是非零非单位的. 此外当 $p = ab$ 时, 由素元的定义可知 $p \mid a$ 或 $p \mid b$, 这说明 $\Exists{r \in R} pr = a$ 或 $\Exists{r' \in R} pr' = b$, 现在例如将前者代入至 $p = ab$ 则得 $p = prb$, 因此 $rb = 1_R$, 这说明 $b$ 是个单位, 反之代入后者则得 $p = apr'$, 交换 $p$ 的位置并消去它后显然有 $ar' = 1_R$, 这说明 $a$ 是个单位.</p> </li>

显然由 $(3)$, 所有整环中的素元皆不可约. 此外, 若 $p$ 不可约, 利用 $(2)$ 即有 $(p)$ 是 $R$ 中所有主理想的真极大理想, 而 $R$ 中所有的理想皆为主理想, 再利用含幺交换环中的极大理想皆为素理想以及条件 $(1)$, 可得 $p$ 的确为素元.</p> </li>

设 $c, d \in R$ 相伴且 $c$ 不可约, 由定理 3.2</a> 的 $(6)$ 可得 $\Exists{\text{单位 $u \in R$}} c = du$, 现在证明 $d$ 不可约, 即按定义即应有 $\Forall{a, b \in R} d = ab \implies \text{$a$ 或 $b$ 是单位}$：</p>
将 $d = ab$ 代入回 $c = du$ 得 $c = abu$, 再由 $c$ 不可约的定义得 $a$ 或 $bu$ 为单位, 而当 $bu$ 为单位时, 显然 $b$ 必然也是单位.</p> </li>

设 $a$ 不可约以及假设 $b \mid a$, 这等价于 $(a) \sub (b)$, 再由 $(2)$ 知 $(a)$ 是极大理想, 即有 $(b) = (a)$ 或 $(b) = R$, 因此 $a, b$ 相伴或 $c$ 为单位.</p> </li> </ol>
定义 3.6 (唯一分解整环)</h3>
称整环 $R$ 为 唯一分解整环 (unique factorization domain, UFD)</strong>, 当同时满足了：</p>

分解为不可约元之积</strong>：任意 $R$ 中的非零非单位元 $a \in R$ 皆可被写作 $a = c_1 c_2 \cdots c_n$, 其中 $\Forall{1 \leq i \leq n} c_i$ 不可约;</li>
不可约元的唯一性</strong>：若 $a = c_1 c_2 \cdots c_n$ 且 $a = d_1 d_2 \cdots d_m$, 其中 $c_i$ 与 $d_j$ 皆不可约, 那么 $n = m$ 并且 $\Exists{\text{置换 $\sigma \in S_n$}} \Forall{1 \leq i \leq n} \text{$c_i, d_{\sigma(i)}$ 相伴}$.</li> </ol> 注释</h3>
由于在整环中, 由定理 3.5</a> 知不可约元与素元是重叠的, 我们可以将上述定义中的不可约元皆替换为素元的条件.</p>
引理 3.7 (主理想环满足升链条件)</h3>
设 $R$ 为主理想环以及 $(a_1) \sub (a_2) \sub \cdots$ 为 $R$ 中理想的链, 那么 $\Exists{\text{最小 $n \in \Z^{+}$}} \Forall{j \geq n} (a_j) = (a_n)$.</p>
证明</h5>
首先考虑证明 $\ds A = \bigcup_{i \geq 1} (a_i)$ 的确是理想, 通过其等价定义即应证明：</p>

$\Forall{b, c \in A} b - c \in A$：</p>
假设 $b \in (a_i)$ 而 $c \in (a_j)$, 其中 $i \geq j$, 那么当然有 $(a_j) \sub (a_i)$ 并且 $b, c \in (a_i)$, 再由 $(a_i)$ 本就是理想, 便得 $b - c \in (a_i) \sub A$.</p> </li>

$\Forall{b \in A} \Forall{r \in R} (rb \in A) \and (br \in A)$：</p>
若 $r \in R$ 而 $b \in (a_i)$, 同由 $(a_i)$ 是理想得 $rb \in (a_i) \sub A$, 此外还有 $br \in (a_i) \sub A$.</p> </li> </ul>
而 $R$ 是主理想环, 则有 $A = (a)$, 那么 $\Exists{n \in \Z^+} a \in (a_n) \sub A$, 由主理想的定义又得 $(a) \sub (a_n)$, 因此只要对任意 $j \geq n$ 便有： $$
(a) \sub (a_n) \sub (a_j) \sub A = (a)

$$</p>
注释</h3>
我们将 $(\Set{\text{$R$ 中的主理想}}, \sub)$ 视作有序集, 我们总希望其中的主理想链皆是有限的, 换句话说从第 $n$ 步起的主理想逐渐趋于 "稳定"： $$
(a_1) \sub (a_2) \sub
\cdots \sub (a_n) = (a_{n + 1}) = (a_{n + 2}) = \cdots

$$ 上述的引理恰好就刻画了这个事实, 我们称之为主理想环的 升链条件 (ascending chain condition, ACC)</strong>.</p>
定理 3.8 (任意主理想整环皆为唯一分解整环)</h3>
任意主理想整环 $R$ 皆为唯一分解整环.</p>
证明</h5>

$\Forall{\text{非零非单位 $a \in R$}} \Forall{1 \leq i \leq n \\ \text{$c_i$ 不可约}} a = c_1 c_2 \cdots c_n$, 分别验证：</p>

若 $a$ 是不可约的, 证明完毕.</p> </li>

若 $a$ 是可约的, 那么 $\Exists{a_1, a_2 \in R} a = a_1 a_2$, 其中 $a_1$ 及 $a_2$ 皆不是单位, 再进一步假设, 若 $a_2$ 是可约的, 那么 $\Exists{a_3, a_4 \in R} a_2 = a_3 a_4$, 其中 $a_3$ 及 $a_4$ 皆不是单位, 因此 $a = a_1 a_2 = a_1 a_3 a_4$, 不断重复将该过程重复, 当 $a_i$ 可约时, 便可将其分解为 $a_{i + 1} a_{i + 2}$, 它们皆不是单位, 因此 ($i \geq 1$)： $$
\begin{array}{c|cc}
& \text{算式} \\
\hline
\text{若 $a$ 可约} & a = a_1 \cdot a_2 & (\text{$a_1, a_2$ 非单位}) \\
\text{若 $a_2$ 可约} & a = a_1 a_3 \cdot a_4 & (\text{$a_1, a_3, a_4$ 非单位}) \\
\text{若 $a_4$ 可约} & a = a_1 a_3 a_5 \cdot a_6 & (\text{$a_1, a_3, a_5, a_6$ 非单位}) \\
\vdots & \vdots \\
\text{若 $a_{2i}$ 可约} & a = a_1 a_3 \cdots a_{2i + 1} \cdot a_{2i + 2} & (\text{$a_1, a_3, \ldots, a_{2i + 2}$ 非单位}) \\
\vdots & \vdots
\end{array}

$$ 换言之, 我们又可以得到以下的主理想链： $$
(a) \sub (a_2) \sub (a_4) \sub (a_6) \sub \cdots \sub (a_{2i + 2}) \sub \cdots

$$ 再由引理 3.7</a> 可知这样的链在主理想环 $R$ 中是有限的, 上述过程至多持续有限多步, 因此 $a$ 只能被表示为有限多个元素之积. 此外因为 $R$ 是整环, 那么由定理 3.5</a> 的 $(2)$ 易知不可约元 $a_n \in R$ 为其中主理想的极大理想, 而上述主理想链皆含于极大理想 $(a_n)$ 中, 例如： $$
(a) \sub (a_2) \sub (a_4) \sub \cdots \sub (a_{2i + 2}) \sub \cdots \sub (a_n)

$$ 再由 $a \in (a) \sub (a_n)$, 可得 $\Exists{b \in R} a = a_n \cdot b$, 该处的 $a_n$ 为不可约元, 严格地说即有： $$
\Forall{x \in R \\ \text{$x$ 非零可约}} \Exists{c \in R \\ \text{$c$ 不可约}} \Exists{y \in R} x = c \cdot y

$$ 另一方面, 我们同样希望 $b$ 是不可约的, 那么类似于 $a$, 假设 $b$ 为可约元, 对其应用上述命题, 以逐步分解 $b$： $$
\begin{array}{c|cc}
& \text{算式} \\
\hline
\text{若 $a$ 可约} & a = a_n \cdot b & (\text{$a_n$ 不可约}) \\
\text{若 $b$ 可约} & a = a_n b_1 \cdot b_2 & (\text{$a_n, b_1$ 不可约}) \\
\text{若 $b_2$ 可约} & a = a_n b_1 b_3 \cdot b_4 & (\text{$a_n, b_1, b_3$ 不可约}) \\
\vdots & \vdots \\
\text{若 $b_{2j}$ 可约} & a = a_n b_1 b_3 \cdots \cdot b_{2j + 1} \cdot b_{2j + 2} & (\text{$a_n, b_1, b_3, \ldots, b_{2j + 1}$ 不可约}) \\
\vdots & \vdots
\end{array}

$$ 同样地由引理 3.7</a>, 这个过程不可能无限地重复下去, 例如： $$
(b) \sub (b_2) \sub (b_4) \sub \cdots \sub (b_{2j + 2}) \sub \cdots \sub (b_m)

$$ 这说明 $a = a_n b_1 b_3 \cdots b_m$, 且其中的 $a_n, b_1, b_3, \ldots, b_m$ 皆为不可约元, 因此命题成立.</p> </li> </ul> </li>

若 $a = c_1 c_2 \cdots c_n$ 且 $a = d_1 d_2 \cdots d_m$, 其中 $c_i$ 与 $d_j$ 皆不可约, 那么 $n = m$ 并且 $\Exists{\text{置换 $\sigma \in S_n$}} \Forall{1 \leq i \leq n} \text{$c_i, d_{\sigma(i)}$ 相伴}$：</p>
若 $c_1 c_2 \cdots c_n = a = d_1 d_2 \cdots d_m$, 因为 $R$ 为主理想整环, 由定理 3.5</a> 的 $(4)$ 易知： $$
\begin{align}
\Forall{1 \leq i \leq n} (\text{$c_i$ 不可约}) \iff \bigg(c_i \mid d_1 d_2 \cdots d_m \implies (c_i \mid d_1) \or (c_i \mid d_2) \or \cdots \or (c_i \mid d_m)\bigg) \\
\Forall{1 \leq j \leq m} (\text{$d_j$ 不可约}) \iff \bigg(d_j \mid c_1 c_2 \cdots c_n \implies (d_j \mid c_1) \or (d_j \mid c_2) \or \cdots \or (d_j \mid c_n)\bigg)
\end{align}

$$ 现在取定 $i = j$ 时, 可知上述 $c_i, d_j$ 是相伴的, 而再由定理 3.5</a> 的 $(6)$ 得知整环 $R$ 中的不可约元, 唯一的除数只能是它的相伴元或单位, 因此 $n = m$.</p> </li> </ul>
定义 3.9 (欧几里得环, 欧几里得整环)</h3>
设 $R$ 为交换环, 称 $R$ 为 欧几里得环 (Euclidean ring)</strong> 当存在函数 $\varphi : R \backslash \set{0} \to \Z_{\geq 0}$ 使得：</p>

$\Forall{a, b \in R} ab \neq 0 \implies \varphi(a) \leq \varphi(ab)$;</li>
$\Forall{a, b \in R \\ b \neq 0} \Exists{q, r \in R} a = bq + r$, 其中 $r = 0$ 或 $r \neq 0$ 时有 $\varphi(r) < \varphi(b)$.</li> </ol>
若欧几里得环同时是整环, 则称之为 欧几里得整环 (Euclidean domain)</strong>.</p>
例子 3.10 (欧几里得整环的例子)</h3>
整数环 $\Z$ 连同 $\Map{\varphi}{\Z \backslash \set{0}}{\Z_{\geq 0}}{x}{|x|}$ 构成欧几里得整环.</li>
若 $\mathbb{F}$ 是域, 它连同 $\Map{\varphi}{\mathbb{F} \backslash \set{0}}{\Z_{\geq 0}}{x}{1}$ 同样构成欧几里得整环.</li>
若 $\mathbb{F}$ 是域, 由它给出的单变量多项式环 $\mathbb{F}[x]$ 连同 $\Map{\varphi}{\mathbb{F}[x] \backslash \set{0}}{\Z_{\geq 0}}{f}{\deg f}$ 同样是欧几里得环.</li>
集合 $\Z[i] \coloneqq \Set{ a + bi : a, b \in \Z } \sub \C$ 是一个整环, 称之为高斯整数环 (domain of Gaussian integers)</strong>, 那么 $\Z[i]$ 连同 $\Map{\varphi}{\Z[x] \backslash \set{0}}{\Z_{\geq 0}}{a + bi}{a^2 + b^2}$ 亦容易证得是欧几里得整环. </li> </ul> 定理 3.11 (欧几里得环与欧几里得整环的性质)</h3>

任意欧几里得环 $R$ 皆为含幺主理想环;</li>
任意欧几里得整环 $R$ 皆为唯一分解整环.</li> </ol>
证明</h5>
由于 $(2)$ 是 $(1)$ 与定理 3.8</a> 的推论, 因此下面只证明 $(1)$. 现在分别验证：</p>

任意 $R$ 中的非零理想皆为主理想：</p>
选取其中的非零元 $b \in I$, 且 $\varphi(b)$ 为集合 $\Set{ \varphi(x) \in \Z^+ : x \neq 0, x \in I }$ 的最小正整数, 而通过欧几里得算法, 若 $a \in I$, 则有： $$
\Exists{q, r \in R} a = bq + r \qquad \text{其中 $(r = 0) \or \bigg( (r \neq 0) \and (\varphi(r) < \varphi(b)) \bigg)$ }

$$ 再由 $b \in I$ 可得 $bq \in I$, 加上 $a \in R$ 可得知 $r$ 亦封闭于 $I$ 中, 但我们有 $\varphi(r) < \varphi(b)$, 这与 $\varphi(b)$ 的最小性相矛盾, 得 $r = 0$, 因此 $a = bq$ 说明每个 $I$ 中的元素皆为 $b$ 的倍数, 因此 $I \sub bR \sub (b) \sub I$, 遂得 $I = bR = (b)$.</p> </li>

$R$ 含乘法幺元, 即 $\Exists{e \in R} \Forall{a \in R} ea = a = ae$：</p>
由刚才证出的, 知道 $R$ 本身也是主理想, 即是说 $\Exists{x \in R} xR = R = Rx$, 而由于 $x \in R$, 即又得 $\Exists{e \in R} xe = x = ex$, 且对任意 $a \in R$ 又总是 $\Exists{r \in R} a = rx$, 因此： $$
ae = (rx)e = r(xe) = rx = a

$$ 对 $ea = a$ 的证明亦类似, 因此得 $ea = a = ae$ 成立.</p> </li> </ul>
定义 3.12 (公因数, 最大公因数)</h3>
设 $X$ 为交换环 $R$ 的非空子集：</p>

称 $c \in R$ 为 $X$ 中元素的 公因数 (common divisor)</strong>, 当 $\Forall{a \in X} c \mid a$;</li>
称 $d \in R$ 为 $X$ 中元素的最大公因数 (greatest common divisor)</strong>, 当 $d$ 为 $X$ 中元素的公因数且 $\Forall{a, c \in X} c \mid a \implies c \mid d$.</li> </ul>
定理 3.13 (含幺交换环中最大公因数的等价刻画)</h3>
设 $R$ 为含幺交换环以及 $a_1, \dots, a_n \in R$：</p>

$d \in R$ 为 $a_1, \dots, a_n$ 的最大公因数使得 $\Exists{r_i \in R} d = r_1 a_1 + \cdots + r_n a_n$ 当且仅当 $(d) = (a_1) + (a_2) + \cdots + (a_n)$;</li>
若 $R$ 为主理想环, 那么 $a_1, \dots, a_n$ 的最大公因数存在且每一个 $a_i$ 皆可被写作形式和 $r_1 a_1 + \cdots + r_n a_n$, 其中 $(r_i \in R)$;</li>
若 $R$ 为唯一分解整环, 同样存在 $a_1, \dots, a_n$ 的最大公因数.</li> </ol>

最大公因数与欧几里得算法

Fri, 19 Apr 2024 00:00:00 +0000

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引言</h2>
在许多关于数论的问题中, 会涉及到找出最大公因数</strong> 的命题不在少数, 例如使用中国剩余定理前也需要事先验证两个数之间是否互素, 而欧几里得算法则是一种寻找最大公因数极佳的方式, 因此该章节会讨论关于它的一些内容.</p>
1. 整数上的贝祖定理与欧几里得算法</h2>
以下的命题给出了关于最大公因数与 (线性) 丢番图方程 (未知量只能为整数的整系数多项式等式) 的联系：</p>

$$
\Forall{a, b, m \in \Z} \b{ \gcd(a, b) = m \iff \b{\Exists{x, y \in \Z} ax + by = m} } \tag{1} $$</p> </blockquote>
而往更宽泛的说, 若 $m$ 是 $\gcd(a, b)$ 的整数倍时, 当且仅当线性和 $ax + by = m$ 有整数解 $(x, y)$, 那么我们就称该公式为 贝祖等式 (Bézout's identity)</strong>. 特别地我们可以将 $m$ 限制为 $1$, 则可得到以下特例：</p>

$$
\Forall{a, b \in \Z} \b{ \text{$a, b$ 互素} \iff \b{\Exists{x, y \in \Z} ax + by = 1} } \tag{2} $$</p> </blockquote>
而为了证明 $(1)$ 中这样的 $x, y$ 的确存在, 可利用以下的 欧几里得算法 (Euclidean algorithm)</strong> 进行计算：</p>

对任意 $a, b \in \Z$, 其中 $b \neq 0$, 如欲找出它们的最大公因数 $\gcd(a, b)$, 首先做一些预处理：</p>

若 $b > a$, 由于 $\gcd(a, b) = \gcd(b, a)$, 交换输入 $b, a$;</li>
若 $a < 0$ 或 $b < 0$, 由于 $\gcd(a, b) = \gcd(|a|, b) = \gcd(a, |b|) = \gcd(|a|, |b|)$, 直接对 $a$ 或 $b$ 取绝对值;</li>
设初始值为 $r_{-1} = a$ 以及 $r_0 = b$;</li> </ul>
然后可通过以下有限多步 $(1 \leq k \leq n)$ 递归地求出： $$
\begin{array}{c|c} & \text{算式} \\ \hline \text{第 $1$ 步} & r_{-1} = r_0 \cdot q_1 + r_1 \\ \text{第 $2$ 步} & r_0 = r_1 \cdot q_2 + r_2 \\ \text{第 $3$ 步} & r_1 = r_2 \cdot q_3 + r_3 \\ \vdots & \vdots \\ \text{第 $k$ 步} & r_{k - 2} = r_{k - 1} \cdot q_k + r_k \\ \vdots & \vdots \\ \text{第 $n$ 步} & r_{n - 2} = r_{n - 1} \cdot q_n + r_n \end{array} $$ 即是说逐步应用带余除法, 其中：</p>

$q_k, r_k$ 分别为第 $k$ 步的商与余数;</li>
对任意的第 $k$ 步都满足 $0 \leq r_k < r_{k - 1}$;</li>
$r_n = 0$ 时算法终止 (存在最小正整数 $n$ 使得 $r_n = 0$), 此时 $\gcd(a, b) = r_{n - 1}$.</li> </ul> </blockquote>
例如我们可以通过以下计算得出 $a = 1919810$ 与 $b = 114514$ 的最大公因数为 $r_{11 - 1} = r_{10} = 2$：</p>
</div>
观察到其中的输入分别为前两步的余数 $r_{k - 2}$ 以及 $r_{k - 1}$, 而最大公因数则为最后一步的被除数 $r_{n - 1}$. 可见该算法的核心在于将第 $k - 2$ 步余数辗转到第 $k - 1$ 步的除数以及第 $k$ 步的被除数位置上, 因此又称之为 辗转相除法</strong>. 而带余除法保证了商和余数的取法是唯一的, 虽然这里并没有用到唯一性的条件.</p>
现在让我们回到 $(1)$ 的证明, 由于初始值为 $r_{-1} = a$ 而 $r_0 = b$, 那么： $$
\gcd(a, b) = \gcd(b, r_1) = \gcd(r_1, r_2) = \gcd(r_2, r_3) = \cdots = \gcd(r_{n - 2}, r_{n - 1}) = r_{n - 1}

$$ 设 $k = n - 1$, 则有 $r_{n - 3} = r_{n - 2} \cdot q_{n - 1} + r_{n - 1}$, 因此 $r_{n - 1}$ 可被表示为： $$
r_{n - 1} = r_{n - 3} - r_{n - 2} \cdot q_{n - 1} \tag{3}

$$ 同样的, 对 $r_{n - 2}, r_{n - 3}, \cdots, r_2, r_1$ 分别有： $$
\begin{align}
r_{n - 2} & = r_{n - 4} - r_{n - 3} \cdot q_{n - 2} \\
r_{n - 3} & = r_{n - 5} - r_{n - 4} \cdot q_{n - 3} \\
& \phantom{w} \vdots \\
r_3 & = r_1 - r_2 \cdot q_3 \\
r_2 & = b - r_1 \cdot q_2 \\
r_1 & = a - r_0 \cdot q_1
\end{align}

$$ 分别将它们代入回到 $(3)$, 则可将 $r_{n - 1}$ 表示为 $r_{n - 4}$ 与 $r_{n - 5}$ 的线性和, 不断重复这个过程就得到： $$
\gcd(a, b) = r_{n - 1} = r_{n - 3} - r_{n - 2} \cdot q_{n - 1} = r_{n - 3} - \b{r_{n - 4} - r_{n - 3} \cdot q_{n - 2}} \cdot q_{n - 1} = \cdots = ax + by

$$</p>
2. 整数上的拓展欧几里得算法</h2>
由于上述的证明不涉及找出贝祖等式中 $x, y$ 具体数值的 (只是证明了它们的存在性), 而我们可以通过拓展欧几里得算法 (Extended Euclidean algorithm)</strong> 求得它们, 具体的说, 在欧几里得算法的基础上, 当我们正在进行第 $k$ 步演算时, 同时额外计算并维护有关 $x, y$ 的序列： $$
\begin{array}{c|cc|ccc|cc}
& \text{$r_k$ 的序列} &&& \text{$x$ 的序列} &&& \text{$y$ 的序列} \\
\hline
\text{算式} & r_{k - 2} = r_{k - 1} \cdot q_k + r_k &&& x_{k - 2} = x_{k - 1} \cdot q_k + x_k &&& y_{k - 2} = y_{k - 1} \cdot q_k + y_k \\
\text{初始值} & r_{-1} = a, \quad r_0 = b &&& x_{-1} = 1, \quad x_0 = 0 &&& y_{-1} = 0, \quad y_0 = 1 \\
\text{最终值} & r_{n - 1} = \gcd(a, b) &&& x_{n - 1} = x &&& y_{n - 1} = y \\
\end{array}

$$ 该拓展算法的结束条件与欧几里得算法一致, 皆为 $r_k = 0$. 现在让我们观察与上面同样的例子：</p>
</div>
可见 $\gcd(a, b) = \gcd(1919810, 114514) = r_{11 - 1} = r_{10} = 2$, 而 $x = x_{11 - 1} = x_{10} = -16768$ 并且 $y = y_{11 - 1} = y_{10} = 281113$, 此时代入贝祖等式立得： $$
ax + by = 1919810 \cdot (-16768) + 114514 \cdot 281113 = 2 = \gcd(a, b)

$$</p>
3. 推广至主理想整环与欧几里得整环</h2>
我们可以在一个更宽泛的数学结构, 例如环中定义整除性, 以及最大公因数等的概念：</p>

设 $R$ 为环以及 $a, b \in R$：</p>

称 $a$ 整除 (divides)</strong> $b$, 或称 $b$ 是 $a$ 的 倍数 (multiple)</strong>, 当 $\Exists{c \in R} b = ac$, 并记为 $a \mid b$;</li>
若 $a \mid b$ 且 $b \mid a$, 则称 $a$ 与 $b$ 是 结合 (associates)</strong>, 记为 $a \sim b$;</li>
称 $d \in R$ 为 $a, b$ 的 公因数 (common divisor)</strong>, 当 $(d \mid a) \and (d \mid b)$;</li>
称 $d \in R$ 为 $a, b$ 的最大公因数 (greatest common divisor, GCD)</strong>, 当 $\Forall{\text{$a, b$ 的公因数 $c \in R$}} c \mid d$, 并记为 $\gcd(a, b) = d$.</li> </ul> </blockquote>
现在可以将环 $\Z$ 中的贝祖等式推广至主理想整环 $R$. 由于 $R$ 中所有的理想都可以被单个生成元有限生成, 因此 $(a, b)$ 也是主理想, 它是由 $a, b$ 的最大公因数所生成, 其中的元素形如 $ax + by$ 这样的线性和, 具体的说：</p>

设 $R$ 为主理想整环, 考虑 $a, b, d, \in R$, 以下命题等价：</p>

$\gcd(a, b) = d$;</li>
理想之间的等价 $(d) = (a, b)$;</li>
满足 $\Exists{x, y \in R} d = ax + by$ 以及 $\Forall{s, t \in R} d \mid (as + bt)$;</li>
满足 $\Exists{x, y \in R} d = ax + by$ 以及 $d$ 是 $a, b$ 的公因数.</li> </ol> </blockquote>
再将上述 $\Z$ 中的带余除法抽象出来并定义：</p>

称整环 $R$ 为一个欧几里得整环 (Euclidean domain)</strong>, 当其存在一个映射 $\delta : R \backslash \set{0} \to \N$ 使得以下带余除法于 $R$ 中成立： $$
\Forall{f, g \in R \\ g \neq 0} \Exists{q, r \in R } (f = gq + r) \and \bigg[(r = 0) \or (\delta(r) < \delta(g)) \bigg] $$ 其中的 $\delta$ 又被称为 $R$ 的 欧几里得函数 (Euclidean function)</strong>.</p> </blockquote>
通俗的说, 所谓的欧几里得整环就是能做带余除法的整环, 可以证明它也是个主理想整环. 例如整数环 $\Z$ 或域 $\mathbb{F}$ 上的多项式环 $\mathbb{F}[x]$ 皆是欧几里得整环, 只要取定： $$
\begin{alignat}{3}
\Z \backslash \Set{0} & \overto{\delta} \N \qquad \qquad &
\mathbb{F}[x] \backslash \Set{0} & \overto{\delta} \N \\
x & \mapsto |x| &
f & \mapsto \deg f
\end{alignat}

$$ 即是说 $\Z$ 或 $\mathbb{F}[x]$ 中我们将 "较大的元素" 通过带余除法分解为 "较小的元素", 而度量 "大小" 是由 $\delta$ 所决定的. 从而可以将 $\Z$ 上的欧几里得算法推广为：</p>

设 $R$ 为欧几里得整环及映射 $\delta : R \backslash \set{0} \to \N$, 若 $a, b \in R$ 且 $b \neq 0$, 可通过以下有限多步 $(1 \leq k \leq n)$ 递归地求出 $a, b$ 的最大公因数： $$
\begin{array}{c|c} & \text{算式} \\ \hline \text{第 $1$ 步} & a = b \cdot q_1 + r_1 \\ \text{第 $2$ 步} & b = r_1 \cdot q_2 + r_2 \\ \text{第 $3$ 步} & r_1 = r_2 \cdot q_3 + r_3 \\ \vdots & \vdots \\ \text{第 $k$ 步} & r_{k - 2} = r_{k - 1} \cdot q_k + r_k \\ \vdots & \vdots \\ \text{第 $n$ 步} & r_{n - 2} = r_{n - 1} \cdot q_n + r_n \end{array} $$ 即是说逐步应用带余除法, 其中：</p>

$q_k, r_k$ 分别为第 $k$ 步的商与余数;</li>
对任意的第 $k$ 步都满足 $(r = 0) \or (\delta(r_k) < \delta(r_{k - 1}))$;</li>
$r_n = 0$ 时算法终止 (存在最小正整数 $n$ 使得 $r_n = 0$), 此时 $\gcd(a, b) = r_{n - 1}$.</li> </ul> </blockquote>
4. 多项式环上的欧几里得算法</h2>
从先前的例子我们得知有理数域 $\Q$ 上的 $\Q[x]$ 亦是欧几里得环, 因此不仅仅可以定义任意两个多项式 $f, g \in \Q[x]$ 的最大公因数 $\gcd(f, g)$, 还可以通过欧几里得算法得到它, 例如设： $$
\begin{align}
f(x) & = x^3 + x^2 - x - 1 \\
g(x) & = x^2 + 3x + 2
\end{align}

$$ 通过以下计算机可得到 $\gcd(f, g) = 3x + 3$：</p>
</div>
然而只要当 $(3x + 3) \mid (x^2 + 3x + 2)$, 根据以下事实：</p>

对任意 $f, g \in \mathbb{F}[x]$ 若 $g \mid f$, 那么 $\Forall{c \neq 0} cg \mid f$.</p> </blockquote>
也就是说只要给 $3x + 3$ 乘以任意一个标量 $c$ 它都可以整除 $x^2 + 3x + 2$, 这告诉我们事实上 $\gcd(f, g)$ 有无数多个, 为了避免这种情况, 我们可以取一种最标准的形式, 例如将 $3x + 3$ 首一化, 即是将 $x$ 的最高次项的系数化为 $1$, 也就是将 $3x + 3$ 逐项除以 $3$, 便得到了 $\gcd(f, g) = x + 1$.</p>

注释</h3>
由于在整环中, 由 定理 3.5</a> 知不可约元与素元是重叠的, 我们可以将上述定义中的不可约元皆替换为素元的条件.</p>

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环论 3 - 交换环分解

最大公因数与欧几里得算法

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环论 3 - 交换环分解

定义 3.6 (唯一分解整环)</h3> 称整环 $R$ 为 唯一分解整环 (unique factorization domain, UFD)</strong>, 当同时满足了：</p>

注释</h3> 由于在整环中, 由 定理 3.5</a> 知不可约元与素元是重叠的, 我们可以将上述定义中的不可约元皆替换为素元的条件.</p>

证明</h5> 首先考虑证明 $\ds A = \bigcup_{i \geq 1} (a_i)$ 的确是理想, 通过其等价定义即应证明：</p>

定理 3.8 (任意主理想整环皆为唯一分解整环)</h3> 任意主理想整环 $R$​ 皆为唯一分解整环.</p> 证明</h5> $\Forall{\text{非零非单位 $a \in R$}} \Forall{1 \leq i \leq n \\ \text{$c_i$ 不可约}} a = c_1 c_2 \cdots c_n$​, 分别验证：</p>

证明</h5> $\Forall{\text{非零非单位 $a \in R$}} \Forall{1 \leq i \leq n \\ \text{$c_i$ 不可约}} a = c_1 c_2 \cdots c_n$​, 分别验证：</p>

定理 3.11 (欧几里得环与欧几里得整环的性质)</h3> 任意欧几里得环 $R$ 皆为含幺主理想环;</li>

最大公因数与欧几里得算法

注释</h3>
由于在整环中, 由定理 3.5</a> 知不可约元与素元是重叠的, 我们可以将上述定义中的不可约元皆替换为素元的条件.</p>