环论 2 - 理想与环同构定理

2023-11-29

数学代数学抽象代数环论

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2.1. 理想

注释

环论的理想正如同群论中的正规子群. 而作为集合观察的话, 它正是 "某个数的倍数集" 这一概念的直接推广.

定义 2.1.1 (子环, 理想, 平凡理想, 真理想)

设 $(R, + , \cdot)$ 为环以及非空集 $I, S \sub R$：

称 $(S, +, \cdot)$ 为 $(R, +, \cdot)$ 的 子环 (subring), 记为 $S < R$, 当 $S$ 的加法及乘法运算于 $R$ 中封闭, 且 $(S, + , \cdot)$ 构成环;
称加法子群 $(I, +)$ 为 $R$ 的 左理想 (left ideal), 当满足了 $\Forall{r \in R} \Forall{x \in I} rx \in I$;
称加法子群 $(I, +)$ 为 右理想 (right ideal), 当满足了 $\Forall{r \in R} \Forall{x \in I} xr \in I$;
称加法子群 $(I, +)$ 为 (双边) 理想 (ideal), 当 $I$ 同时为左与右理想;
称加法子群 $(I, +)$ 为 平凡理想 (trivial ideal) 或 零理想 (zero ideal), 记为 $0$, 当其中仅包含零元;
若环 $R$ 的理想 $I$ 满足了 $I \neq 0$ 以及 $I \neq R$, 则称 $I$ 为 真理想 (proper ideal).

例子 2.1.2 (构成理想的例子与反例)

设 $R$ 为任意环, 则环 $R$ 的 中心 (center) 为子集 $Z(R) \coloneqq \Set{ c \in R : \Forall{r \in R} cr = rc }$, 显然 $Z(R) < R$, 但 $Z(R)$ 却不一定为理想, 例如考虑含幺环, 取 $r = 1_R$ 时当且仅当 $Z(R) = R$ (下面关于真理想的注释会提到这个结论), 亦即是说 $R$ 必须可交换, 反之若 $R$ 是非交换的, 则说明 $Z(R)$ 不为理想.
若 $f : R \to S$ 为环同态, 则 $\Ker{f}$ 为 $R$ 中的理想而 $\Im{f}$ 虽然为 $S$ 的子环, 却不一定为 $S$ 的理想.
对于任意 $n \in \Z$, 循环子群 $(n) = \set{ kn : k \in \Z }$ 是 $\Z$ 中的理想.
考虑任意除环 $D$ 上由所有 $n \times n$ 矩阵所组成的矩阵环 $\op{M}_n(D)$：
- 令 $I_k$ 为所有仅第 $k$ 列的元素不为零的矩阵组成的集合, 则 $I_k$ 为 $\op{M}_n(D)$ 的左理想而非是右理想;
- 类似地, 若令 $J_k$ 为所有仅第 $k$ 行元素不为零的矩阵组成的集合, 则 $J_k$ 为 $\op{M}_n(D)$ 的右理想而非左理想.
其中两个特殊的理想为环 $R$ 自身以及定义中的平凡理想.

注释 (真理想)

若 $R$ 为含幺环且 $I$ 为它的理想, 那么显然 $I = R$ 当且仅当 $1_R \in I$, 因为 $1_R r = r = r 1_R \in R$.
环 $R$ 的任意非零的理想 $I$ 是真理想当且仅当 $I$ 不包含任何来自 $R$ 的可逆元, 因为对任意可逆元 $u \in R$, 若有 $u \in I$, 则 $1_R = u^{-1}u \in I$. 特别地, 除环 $D$ 中当然是不包含任何 (左/右) 真理想的, 因为 $D$ 中任意非零元都是可逆元.
除环 $D$ 上的 $n \times n$ 矩阵环 $\op{M}_n(D)$ 存在左/右真理想, 但却没有双边真理想.

注释 (理想的生成)

理想的生成类似于子群的生成, 亦拥有相似的定义与一些命题, 不再重复证明.

定理 2.1.3 (理想的等价定义)

设有环 $R$, 非空子集 $I \sub R$：

若 $I$ 为左理想, 当且仅当同时满足了 $\Forall{a, b \in I} a - b \in I$ 以及 $\Forall{a \in I} \Forall{r \in R} ra \in I$;
若 $I$ 为右理想, 当且仅当同时满足了 $\Forall{a, b \in I} a - b \in I$ 以及 $\Forall{a \in I} \Forall{r \in R} ar \in I$;

推论 2.1.4 (任意理想的交仍是理想)

设 $\set{A_i : i \in I}$ 为所有 $R$ 中的理想组成的集族, 则 $\displaystyle \bigcap_{i \in I} A_i$ 仍为理想.

定义 2.1.5 (理想的生成, 主理想环, 主理想域)

对于任意环 $R$ 以及 $X \sub R$, 设 $\set{ A_i \supset X : i \in I }$ 为所有在 $R$ 中包含了 $X$ 的理想所组成的集族, 则：

称 $\displaystyle \bigcap_{i \in I} A_i$ 为 由 $X$ 所生成的理想 (ideal generated by $X$), 记为 $(X)$;
称集合 $X$ 为理想 $(X)$ 的 生成元 (generators);
若设有限集 $X = \set{ x_1, \dots, x_n }$, 且理想 $(X) = (x_1, \dots, x_n)$ 则称 $(X)$ 为 有限生成 (finitely generated);
仅由一个生成元所生成的理想 $(x)$ 则被称为 主理想 (principal ideal);
若环 $R$ 中任意的理想皆为主理想, 则称 $R$ 为 主理想环 (principal ideal ring);
若主理想环 $R$ 为整环, 则称 $R$ 为 主理想域 (principal ideal domain, PID).

定理 2.1.6 (生成理想的一些性质)

设 $R$ 为环, 给定生成元 $a \in R$ 以及生成集 $X \sub R$：

$R$ 的主理想 $(a) = \displaystyle \Set{ ra + as + na + \sum_{i = 1}^m r_i as_i : r,s,r_i, s_i \in R; m \in \N^\times; n \in \Z }$;
若 $R$ 为含幺环, 则 $(a) = RaR = \displaystyle \Set{ \sum_{i = 1}^n r_i as_i : r_i, s_i \in R; n \in \N^\times }$;
若 $R$ 为交换环, 则有 $(a) = \set{ ra + na : r \in R, n \in \Z }$;
- $Ra = \set{ ra : r \in R }$ 为 $R$ 中的左理想, 若 $R$ 含幺, 则 $a \in Ra$;
- $aR = \set{ ar : r \in R }$ 为 $R$ 中的右理想. 若 $R$ 含幺, 则 $a \in aR$;
若 $R$ 为含幺交换环, 则左右理想皆为主理想且重叠, 即 $Ra = (a) = aR$;
若 $R$ 为含幺环且 $Z(R) = X$, 则 $(X) = \Set{ r_1 a_1 + \dots + r_n a_n : n \in \N^\times; r_i \in R; a_i \in X }$.

注释

上述关于 $R$ 为交换环的条件皆可替换为 $a \in Z(R)$, 详细参看例子 2.1.2 中的第二个例子.
假设有一些环 $R$ 中非空的子集 $A_1, A_2, \dots, A_n$, 我们定义： $$
A_1 + A_2 + \dots + A_n \coloneqq \Set{ a_1 + a_2 + \dots + a_n : \Forall{i \in \N^\times} a_i \in A_i }

$$ 若 $A, B \sub R$ 非空, 同样地我们定义所有 $A$ 与 $B$ 的有限和集为： $$
AB \coloneqq \Set{ a_1 b_1 + \dots + a_n b_n : \Forall{i \in \N^\times} a_i \in A; b_i \in B } = \Set{ \sum_{i = 1}^n a_i b_i : a_i \in A; b_i \in B }

$$ 若 $A = \set{a}$, 那么记该集合为 $aB$, 同样若 $B = \set{b}$, 则记为 $Ab$.

定理 2.1.7 (理想的运算律)

设 $A, A_1, A_2, \dots, A_n, B, C$ 为环 $R$ 的理想：

$A_1 + A_2 + \dots + A_n$ 及 $A_1 A_2 \dots A_n$ 仍为理想;
$(A + B) + C = A + (B + C)$;
$(AB)C = ABC = A(BC)$;
$B(A_1 + A_2 + \dots + A_n) = BA_1 + BA_2 + \dots + BA_n$;
$(A_1 + A_2 + \dots + A_n)C = A_1 C + A_2 C + \dots + A_n C$.

2.2. 商环与环同构定理

注释

由于于环论中的理想与群论中的正规子群所扮演的角色类似, 我们当然可以定义商环与环同构定理.

定理 2.2.1 (由商群构造环的方式)

设 $R$ 为环且 $I < R$, 那么加法下的商群 $R/I$ 仍为环, 它的乘法由 $\Map{\cdot}{R/I \times R/I}{R/I}{(a+I)(b+I)}{ab+I}$ 给出;
若 $R$ 是交换的或含幺, 则 $R/I$ 亦继承这些性质.

证明

只证 $(1)$. 由于商群 $R/I$ 中的陪集可选为任意代表元, 我们需要证明它在乘法下的良定性, 即以下命题： $$
\Forall{a' + I \in R/I} \Forall{b' + I \in R/I} \bigg( (a + I = a' + I) \and (b + I = b' + I) \bigg) \implies (ab + I = a'b' + I)

$$ 由于对某些 $i, j \in I$, 我们有 $a' = a+i$ 及 $b' = b + j$, 因此于环 $R$ 中便有： $$
a'b' = (a+i)(b+j) = ab + aj + ib + ij \in I

$$ 又因为 $I$ 为 $R$ 中的理想, 因此 $a'b' - ab = aj + ib + ij \in I$, 由陪集的基本性质知 $ab + I = a'b' + I$.

定理 2.2.2 (理想与同态核的性质)

设 $R, S$ 为环：

若 $f : R \to S$ 为环同态, 则 $\Ker{f}$ 为 $R$ 中的理想;
反之若 $I$ 为 $R$ 中的理想, 则映射 $\Map{\pi}{R}{R/I}{r}{r + I}$ 为环的满同态, 其中 $\Ker{\pi} = I$.

其中的映射 $\pi : R \to R/I$ 被称为 典范满同态 / 投射 (canonical epimorphism / projection).

证明

由于 $\Ker{f}$ 为 $R$ 的加法子群, 它对加法封闭, 那么对任意 $a, b \in \Ker{f}$ 必有 $a-b \in \Ker{f}$. 此外由于 $f$ 为环同态, 因此对任意 $r \in R$ 以及 $a \in \Ker{f}$： $$
f(ra) = f(r)f(a) = f(r) \cdot 0 = 0

$$ 因此 $ra \in \Ker{f}$, 由定理 2.1.3 命题直接得证.
由群论中的结论得知 $\pi$ 为加法群之间的满同态, 那么只需要证明其于乘法下的同态性, 因此对任意 $a, b \in R$： $$
\pi(ab) = ab + I = (a+I)(b+I) = \pi(a) \pi(b)

$$ 由此得知 $\pi$ 的确为环同态.

定理 2.2.3 (商环的泛性质)

若 $f : R \to S$ 为环同态且 $I \sub \Ker{f}$ 为理想, 则：

可诱导出存在唯一同态 $\Map{\hat{f}}{R/I}{S}{a+I}{f(a)}$, 其中任意 $a \in R$;
$\Im{\hat{f}} = \Im{f}$ 以及 $\Ker{\hat{f}} = \Ker{f}/I$;
$\hat{f}$ 为同构 $\iff$ $f$ 为满同态且 $I = \Ker{f}$.

事实上即满足了泛性质, 使得 $\hat f \circ \varphi = f$, 其中 $\pi$ 为典范满同态, 即令下图交换 (其中 $\twoheadrightarrow$ 表示满同态)： $$

\xymatrix{
R \ar@{->}[r]^{f} \ar@{->>}[d]_{\pi} & S \\
R/I \ar@{-->}[ru]_{\exists! \hat{f}} &
}

$$

定理 2.2.4 (环同构第一定理)

若 $f : R \to S$ 为环同态, 则 $f$ 可诱导出同构 $R/\Ker{f} \cong \Im{f}$, 即使得下图可交换： $$

\xymatrix{
R \ar@{->}[r]^{f} \ar@{->>}[d]_{\pi} & S \\
R/\operatorname{Ker}(f) \ar@{^{(}->>}[r]_{\cong} & \operatorname{Im}(f) \ar@{^{(}->}[u]_{\cup}
}

$$

推论 2.2.5 (环同态诱导商环之间的同态或同构)

对于任意环 $R, S$, 环同态 $f : R \to S$, 以及 $f(I) \sub J$, 其中 $I$ 为 $R$ 的理想而 $J$ 为 $S$ 的理想：

$f$ 可诱导出商环之间的同态 $\Map{\hat{f}}{R/I}{S/J}{a+I}{f(a)+J}$;
若 $\hat{f}$ 为同构 $\iff$ $\Im{f} + J = S$ 且 $f^{-1}(J) \sub I$;
若 $f$ 为满同态, 且有 $f(I) = J$ 以及 $\Ker{f} \sub I$, 则 $\hat f$ 为同构.

事实上 $(1)$ 将使得 $\pi_2 \circ f = \hat{f} \circ \pi_1$, 其中 $\pi_1, \pi_2$ 为典范满同态, 即令下图交换： $$

\xymatrix{
R \ar@{->}[r]^{f} \ar@{->>}[d]_{\pi_1} & S \ar@{->>}[d]^{\pi_2} \\
R/I \ar@{->}[r]_{\hat f} & S/J
}

$$

定理 2.2.6 (第二群同构定理)

对于任意环 $R$, 若 $I, J$ 皆为 $R$ 的理想, 则 $I/(I \cap J) \cong (I + J)/J$.

定理 2.2.7 (第三群同构定理)

对于任意环 $R$, 若 $I, J$ 皆为 $R$ 的理想, 并且 $I \sub J$, 则 $J/I$ 为 $R/I$ 中的理想且有同构 $(R/I)/(J/I) \cong R/J$.

定理 2.2.8 (满同态诱导出理想间的双射)

设有环 $R_1, R_2$ 以及满同态 $\varphi : R_1 \to R_2$：

$\varphi$ 可诱导出以下集合间的双射 $\hat\varphi$： $$
\begin{array}{cc}
\set{\text{双边理想 $I_2 < R_2$}} & \lrarr & \set{\text{双边理想 $I_1 < R_1 : I_1 \supset \Ker{\varphi}$}} \\
I_2 & \mapsto & \varphi^{-1}(I_2) \\
\varphi(I_1) & \mapsfrom & I_1
\end{array}

$$
合成同态 $R_1 \overto{\varphi} R_2 \twoheadrightarrow R_2/I_2$ 诱导出环同构 $R_1/\varphi^{-1}(I_2) \cong R_2/I_2$.

2.3. 素理想与极大理想

定义 2.3.1 (素理想)

环 $R$ 中的任意理想 $P$ 若被称为 素理想 (prime ideal), 当满足了： $$
(P \neq R) \and \b{\Forall{\text{理想 $A, B < R$}} AB \sub P \implies (A \sub P) \or (B \sub P)}

$$

定理 2.3.2 (素理想测试)

若环 $R$ 中的任意理想 $P$ 为素理想, 当满足了以下条件： $$
(P \neq R) \and \underbrace{\b{\Forall{a, b \in R} ab \in P \implies (a \in P) \or (b \in P)}}_{\text{条件 $1$}}

$$ 反之若 $P$ 为素理想且 $R$ 可交换, 则 $P$ 满足上述条件 $1$.

证明

$(\Rightarrow)$ 对任意 $R$ 中的理想 $A, B$, 由于有 $AB \sub P$, 若假设 $A \not \sub P$, 则存在元素 $a \in A - P$, 那么对任意 $b \in B$ 有 $ab \in AB \sub P$, 而由于 $a \notin P$, 透过条件, 对任意 $b \in B$ 则必然有 $b \in P$, 因此 $B \sub P$ 成立, 所以 $P$ 为素理想.

$(\Leftarrow)$ 若 $P$ 为任意理想且有 $ab \in P$, 那么按照定义, 主理想 $(ab)$ 为 $R$ 中包含了 $ab$ 的最小理想, 即有 $(ab) \sub P \sub R$. 另一方面, 由于 $R$ 可交换, 由定理 2.1.6 的 $(5)$ 得知 $(a) (b) \sub (ab)$, 那么就有 $(a) (b) \sub P$. 而 $P$ 本身为素理想, 因此又得 $(a) \sub P$ 或 $(b) \sub P$, 显然有 $a \in P$ 或 $b \in P$.

例子 2.3.3 (素理想的例子)

对任意整环 $R$ 以及平凡理想 $0 < R$, 由于 $R$ 中没有任何的零因子, 即 $ab = 0$ 时当且仅当 $a = 0$ 或 $b = 0$, 显然有 $a \in 0$ 或 $b \in 0$, 因此平凡理想为整环 $R$ 中的素理想.
若 $p$ 为素数, 则主理想 $(p) \sub \Z$ 为素理想, 因为对于 $ab \in (p)$, 由于 $\Z$ 交换且含幺, 由定理 2.1.6 的 $(4)$ 知 $(p) = p\Z$, 这意味着 $p \mid ab$, 进一步地我们有 $p \mid a$ 或 $p \mid b$, 显然有 $a \in (p)$ 或 $b \in (p)$.

定理 2.3.4 (含幺交换环中素理想的等价定义)

设有含幺 $1_R \neq 0$ 的交换环 $R$, 若其中的理想 $P$ 为素理想, 当且仅当商环 $R/P$ 为整环.

证明

$(\Rightarrow)$ 由定理 2.2.1 知 $R/P$ 继承了 $R$ 的交换性质与幺元, 又因 $P$ 为素理想, 有条件 $P \neq R$, 因此该幺元为 $1_R + P \neq P$ 且零元为 $0 + P = P$, 而由于对任意 $a + P, b + P \in R/P$： $$
\begin{alignat}{3}
& & (a + P)(b + P) & = P \\
& \hphantom{;} \implies & ab + P & = P \\
& \hphantom{;} \implies & ab & \in P \\
& \overset{\text{定理 2.3.2}}{\implies} & (a \in P) & \or (b \in P) \\
& \hphantom{;} \implies & (a + P = P) & \or (b + P = P)
\end{alignat}

$$ 因此 $R/P$ 中没有零因子, 所以 $R/P$ 构成整环.

$(\Leftarrow)$ 反之, 若需证 $P$ 为素理想, 那么由定理 2.3.2, 对任意 $a, b \in P$： $$
\begin{alignat}{3}
& & ab & \in P \\
& \hphantom{/} \implies & ab + P & = P \\
& \hphantom{/} \implies & (a + P)(b + P) & = P \\
& \overset{\text{$R/P$ 为整环}}{\implies} & (a + P = P) & \or (b + P = P) \\
& \hphantom{/} \implies & (a \in P) & \or (b \in P)
\end{alignat}

$$ 且由于 $R/P$ 为整环, 那么 $1_R + P \neq 0_R + P$ 就使得 $1_R \notin P$, 因此 $P \neq R$, 结合上述条件得 $P$ 为素理想.

定义 2.3.5 (极大理想)

若环 $R$ 中的理想 $M$ 被称为 极大理想 (maximal ideal), 当满足了： $$
(M \neq R) \and \b{ \Forall{\text{理想 $N < R$}} M \sub N \sub R \implies (N = M) \or (N = R) }

$$

例子 2.3.6

$(3)$ 为 $\Z$ 中的极大理想, 而 $(4)$ 并不是, 因为 $(4) \subsetneqq (2) \subsetneqq \Z$.
上述结论可推广为对任意素数 $p$, 由 $p$ 生成的主理想 $(p)$ 皆为 $\Z$ 中的极大理想.
对任意的域 $\mathbb{F}$, 都只有唯一的极大理想 $\set{0}$.

注释

如果我们考虑所有环 $R$ 中除自身以外全体理想的集合 $S \coloneqq \set{ \text{理想 $I$} \sub R : I \neq R }$, 那么 $S$ 就是一个由集合包含关系所构成的偏序集, 而当中的 $M \in S$ 若为极大理想当它是 $S$ 中的最大元.

定理 2.3.7 (非平凡含幺环中极大理想的存在性)

于非平凡含幺环 $R$ 中的极大理想必然是存在的, 事实上对任意 $R$ 中的理想 (除 $R$ 自身以外) 都含于该极大理想中.

证明

该证明由佐恩引理给出. 首先我们令 $A$ 为 $R$ 的理想, 且 $A \neq R$, 并设有以下偏序集： $$
(S, \sub) \coloneqq \set{ \text{理想 $B$} \sub R : A \sub B \neq R}

$$ 而 $S$ 是非空的因为 $A \in S$, 现在我们需证明对任意 $S$ 中的链 $\mathcal{C} = \set{ \text{理想 $C_i$} : i \in I }$ 都有上确界, 我们分别证明：

令 $C = \displaystyle \bigcup_{i \in I} C_i$, 现在由定理 2.1.3 证明 $C$ 为理想：
- 假设对任意 $a \in C_i$ 而 $b \in C_j$, 其中 $i,j \in I$, 而 $C_i, C_j$ 皆为链 $\mathcal{C}$ 中的元素, 那么有 $C_i \sub C_j$ 或 $C_j \sub C_i$, 而 $C_i, C_j$ 又为理想, 就得 $a - b \in C_j$ 或 $a - b \in C_i$, 因此 $a - b \in C$.
- 对任意理想 $C_i$ 其中 $i \in I$, 又对任意 $r \in R$ 可直接得 $ra \in C_i$ 及 $ar \in C_i$, 该步是显然的.
链 $\mathcal{C}$ 的上界为 $C$：

按集合 $S$ 的定义对任意 $i \in I$ 有 $A \sub C_i$, 即 $A \sub \displaystyle \bigcup_{i \in I} C_i = C$, 并且链 $\mathcal{C}$ 中的每个 $C_i \neq R$, 而由于 $1_R \in C_i$ 当且仅当 $C_i = R$, 所以有 $1_R \notin C_i$, 因此 $C \neq R$, 显然它是 $\mathcal{C}$ 中的一个上界.

注释

上述证明中我们使用了集合论中的 佐恩引理 (Zorn's lemma), 现在回顾一下它的表述, 设 $(A, \leq)$ 为偏序集：

任意非空子集 $B \sub A$ 若被 $\leq$ 排序则称为 $A$ 中的 链 (chain);
若 $A$ 为非空偏序集使得对任意 $A$ 中的链都有上界, 则 $A$ 中存在最大元.

定理 2.3.8 (含幺交换环的极大理想皆为素理想)

若 $R$ 为交换环使得 $R^2 = R$ (或 $R$ 含幺), 则 $R$ 中任意极大理想 $M$ 皆为素理想.

证明

由定理 2.3.2, 透过反证法, 假设对任意 $a, b \in R$ 有 $ab \in M$ 及 $a \notin M$ 和 $b \notin M$, 我们可得： $$
\b{M \sub M + (a) \sub R} \and \b{M \sub M + (b) \sub R}

$$ 显然由极大理想 $M$ 的定义出发可推得 $M + (a) = R = M + (b)$, 且由于： $$
R = R^2 = (M + (a))(M + (b)) = M^2 + (a)M + M(b) + (a)(b)

$$ 而 $R$ 可交换则能推出 $(a)(b) \sub (ab)$, 且由于 $ab \in M$ 我们可得知包含 $ab$ 的最小理想 $(ab)$ 必然是含于同样包含 $ab$ 的极大理想 $M$ 中, 因此有： $$
R = M^2 + (a)M + M(b) + (a)(b) \sub M

$$ 而 $M$ 为极大理想, 因此应有 $M \neq R$, 这与上述条件产生矛盾, 因此 $M$ 为素理想.

注释

当我们希望去判断某个理想是极大理想, 类似于素理想我们可以由商环的方式进行表述, 反之亦类似.

定理 2.3.9 (商环所刻画关于极大理想的性质)

令 $M$ 为含幺环 $R$ 中的理想, 其中幺元 $1_R \neq 0$：

若 $M$ 为极大理想且 $R$ 可交换, 则商环 $R/M$ 为域;
若商环 $R/M$ 为除环, 则 $M$ 为极大理想.

证明

由于 $R$ 为含幺交换环, 由定理 2.3.8 得知 $M$ 为素理想, 又因定理 2.3.4 得 $M$ 为素理想当且仅当 $R/M$ 为整环, 由定理 2.2.1 得知 $R/M$ 继承了 $R$ 含幺且交换的性质, 那么我们只需要证明其为除环, 即对任意 $a + M \in R/M$, 应存在它的一个乘法逆元 $b + M \in R/M$ 使得： $$
(a + M)(b + M) = ab + M = 1_R + M

$$ 由 $R/M$ 是整环这个信息可以得知当中没有任何的零因子, 即对任意 $a + M \in R/M$ 乘以任何一个非零元, 其不可能等于 $M$, 因此又只需证明： $$
a + M \neq M \implies \text{$a + M$ 有乘法逆元}

$$ 那么由 $a + M \neq M$ 我们知道可以选定 $a \notin M$, 使得 $M \sub M + (a)$, 既然 $M$ 本就是极大理想, 则只可能有 $M + (a) = R$, 即是说对任意一个 $R$ 中的元素皆可表示为 $m + ra$, 其中有 $m \in M, r \in R$, 所以对于 $1_R$ 则有： $$
m + ra = 1_R \implies 1_R - ra = m \in M

$$ 显然 $1_R + M - ra + M = (1 - ra) + M = M$, 所以我们最终就能得出： $$
1_R + M = ra + M = (r + M)(a + M)

$$ 即是说 $r + M$ 为 $a + M$ 的逆元, 因此商环 $R/M$ 构成域.
$R/M$ 为除环意味着对任意 $a + M \in R/M$ 都存在乘法逆元 $b + M$ 使得 $(a + M)(b + M) = ab + M = 1_R + M$, 可以得到 $ab - 1_R = m \in M$, 那么对任意包含 $M$ 的理想 $N$, 若要令 $N = R$, 即当且仅当 $1_R \in N$, 因为只有这样才能将 $R$ 中的所有元素吸收到 $N$ 内. 为了证明这个命题, 由 $R/M$ 为除环则得到 $1_R + M \neq 0 + M$, 因此有 $1_R \notin M$ 且 $M \neq R$, 现在只需令 $M$ 为 $N$ 的真子集且设上述的 $a \in N - M$, 则有 $1_R \in N$, 因此就证得了 $M$ 为极大理想.

推论 2.3.10 (含幺交换环的等价定义)

以下关于含幺 $1_R \neq 0$ 的交换环 $R$ 的表述是等价的：

$R$ 为域;
$R$ 中没有真理想;
$0$ 为 $R$ 中的极大理想;
任意 $R \to S$ 的非零同态皆为单同态.

证明

$(1) \lrArr (2)$：首先对任意理想 $I < R$, 注意到有以下两个命题的对应： $$
\begin{align}
\text{$R$ 为域} & \iff \Forall{\text{非零理想 $J < R$}} 1_R \in J \\
\text{$R$ 中没有真理想} & \iff (I = 0) \or (I = R)

\end{align}

$$ 那么此时命题化为 $\Forall{\text{理想 $I < R$}} \b{\Forall{\text{非零理想 $J < R$}} 1_R \in J} \iff (I = 0) \or (I = R)$, 那么对于：

$(\Rightarrow)$, 分别证明：
- $R = I$：对任意 $r \in R$ 且 $r \neq 0$, 由于 $R$ 本身为域, 它也是除环, 意味着任意元素的乘法逆封闭于其中, 结合条件 $1_R \in I$ 可得 $rr^{-1} = r^{-1}r = 1_R \in I$, 进行移项则得 $r = 1_R \cdot r = r \cdot 1_R \in I$, 便得到了 $R \sub I$. 另一方面 $I \sub R$ 由定义直接得到.
- $0 = I$：由于对任意的非零理想 $I$ 都含有 $1_R$, 反之 $I$ 为零理想时 $1_R \notin I$, 而按照 $R \sub I$ 中的证明, 对任意 $r \in R$ 我们可得所有的可逆元 $r \notin I$, 显然一个域中不可逆的元就只有 $0$, 因此 $I = 0$.
$(\Leftarrow)$：若 $I = R$, 它是 $R$ 中唯一的非零理想, 显然有 $1_R \in R = I$. 另一方面若 $I = 0$, 显然有 $1_R \neq I$, 因此就证得 $R$ 为域.

$(2) \lrArr (3)$：显然的, 因为若 $M$ 为极大理想, 则 $M \neq R$, 而 $R$ 中又不包含任何真理想, 意味着 $M = 0$. 反之是显然的.

$(3) \lrArr (4)$：由于同态 $f : R \to S$ 是单的当且仅当 $\Ker{f} = 0$, 而由定理 2.2.3 我们知道对任意含于 $\Ker{f}$ 的理想 $I < R$, 则 $f$ 可被分解为 $R \overto{\pi} R/I \overto{\hat{f}} S$, 而由于 $0$ 为 $R$ 中的极大理想, 显然含于 $\Ker{f}$, 因此代入 $I = 0$ 得 $\pi : R \to R/0 = R$ 为单同态, 因此 $\Ker{\pi} = 0$, 因此又有 $\Ker{\pi} = \Ker{\hat{f} \circ \pi} = \Ker{f} = 0$, 就证得 $f$ 其的确为单同态, 反之亦然.