点集拓扑 4 - 连续函数与同胚

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本文最后更新日期：2024-04-09

4.1. 连续函数

定义 4.1.1 (连续函数)

设 $(X,{\tau }_X)$ 与 $(Y,{\tau }_Y)$ 为拓扑空间, 若称 $f:(X,{\tau }_X)\to (Y,{\tau }_Y)$ 为 连续函数 / 连续映射 (continuous function / continuous map), 当 $f$ 中 $Y$ 的任意开集的原像仍是 $X$ 中的开集, 具体即为： $$f\text{ 连续}:=\underset{\begin{array}{c}O\in {\tau }_Y\end{array}}{\mathrm{\forall }}{f}^{-1}(O)\in {\tau }_X$$

命题 4.1.2 (连续函数于闭集下的等价定义)

设 $(X,{\tau }_X)$ 与 $(Y,{\tau }_Y)$ 为拓扑空间, 若 $f:(X,{\tau }_X)\to (Y,{\tau }_Y)$ 是连续的当且仅当 $f$ 中 $Y$ 的任意闭集的原像仍是 $X$ 中的闭集.

注释 (全体拓扑空间构成具体范畴)

• 若将拓扑空间视为范畴中的对象, 并且以连续函数作为当中的态射, 则可验证其的确构成拓扑空间范畴, 记为 $\mathrm{Top}$;

• 若假设有集合范畴 $\mathrm{Set}$, 且定义 $\begin{array}{rl}\mathrm{Top}& \stackrel{U}{\to }\mathrm{Set}\\ (X,{\tau }_X)& \stackrel{\phantom{U}}{\mapsto }X\end{array}$ 为 遗忘函子 (forgetful functor), 意味着 $U$ 是 忠实 (faithful) 的, 即下述映射是单射的： $$\begin{array}{rl}\mathrm{Top}((X,{\tau }_X),(Y,{\tau }_Y))& \to \mathrm{Set}(U((X,{\tau }_X)),U((Y,{\tau }_Y)))\\ [(X,{\tau }_X)\stackrel{\text{连续函数}}{\to }(Y,{\tau }_Y)]& \mapsto \left[X\stackrel{\text{函数}}{\to }Y\right]\end{array}$$

• 若任意范畴携带了从其到集合范畴的忠实函子, 则该范畴被称为 具体范畴 (concrete category), 显然 $\mathrm{Top}$ 便是具体范畴.

例子 4.1.3 (乘积拓扑空间的函子性)

考虑以下连续函数： $$f_1:(X_1,{\tau }_{X_1})\to (Y_1,{\tau }_{Y_1})f_2:(X_2,{\tau }_{X_2})\to (Y_2,{\tau }_{Y_2})$$ 则可诱导出它们在基础集的二元积上的函数 $\begin{array}{rl}{X}_1\times X_2& \stackrel{f_1\times f_2}{\to }{Y}_1\times Y_2\\ (x_1,x_2)& \stackrel{\phantom{f_1\times f_2}}{\mapsto }(f_1(x_1),f_2(x_2))\end{array}$, 且 $f_1\times f_2$ 亦表示了是从二元乘积拓扑空间 $X_1\times X_2$ 到 $Y_1\times Y_2$ 的连续函数, 即： $$(X_1\times X_2,{\tau }_{X_1\times X_2})\stackrel{f_1\times f_2}{\to }(Y_1\times Y_2,{\tau }_{Y_1\times Y_2})$$ 易见乘积拓扑空间这一构成过程是函子式的, 因为可引出以下从拓扑空间的乘积范畴 $\mathrm{Top}\times \mathrm{Top}$ 到 $\mathrm{Top}$ 的函子 $(-)\times (-)$： $$\begin{array}{rl}\mathrm{Top}\times \mathrm{Top}& \stackrel{(-)\times (-)}{\to }\mathrm{Top}\\ ((X_1,{\tau }_{X_1}),(X_2,{\tau }_{X_2}))& \stackrel{\phantom{(-)\times (-)}}{\mapsto }(X_1\times X_2,{\tau }_{X_1\times X_2})\end{array}$$

其中 ${\tau }_{X_1\times X_2}$ 为由原先分别于 $X_1,X_2$ 中的拓扑基 $U_1\in {\tau }_{X_1}$ 以及 $U_2\in {\tau }_{X_2}$ 的笛卡尔积 $U_1\times U_2$ 所生成的拓扑.

例子 4.1.4 ($\mathrm{Top}$ 中的始对象与终对象)

设 $(X,\tau )$ 为拓扑空间, 则必然存在唯一的连续函数：

• 从空拓扑空间到 $X$ 的连续函数 $\mathrm{\varnothing }\stackrel{\mathrm{\exists }!}{\to }X$, 其中 $\mathrm{\varnothing }$ 为 $\mathrm{Top}$ 中的始对象;
• 从 $X$ 到点拓扑空间的连续函数 $X\stackrel{\mathrm{\exists }!}{\to }\ast$, 其中 $\ast$ 为 $\mathrm{Top}$ 中的终对象.

例子 4.1.5 (常连续函数)

设 $(X,\tau )$ 为拓扑空间以及任取一点 $x\in X$, 则存在唯一的连续函数 $\ast \stackrel{x}{\to }X$ 使得该映射的像恰好便是点 $x$, 因此事实上对于任意点 $x\in X$ 则可得出以下这个双射关系： $$\{\ast \stackrel{f}{\to }X:f\text{ 是连续的}\}\simeq X$$

更进一步地, 对于任意拓扑空间 $(X,{\tau }_X)$ 以及 $(Y,{\tau }_Y)$, 若连接它们之间的连续函数 $f:(X,{\tau }_X)\to (Y,{\tau }_Y)$ 被称为映射至某一点 $y\in Y$ 的常函数, 则存在映射分解 $c_y:X\stackrel{\mathrm{\exists }!}{\to }\ast \stackrel{y}{\to }Y$.

定义 4.1.6 (局部常函数)

设 $(X,{\tau }_X),(Y,{\tau }_Y)$ 均为拓扑空间, 以及连续函数 $f:(X,{\tau }_X)\to (Y,{\tau }_Y)$, 若对于任意点 $x\in X$ 都存在它的邻域 $U\subset X$ 使得 $f$ 在 $U$ 中是常函数, 即对于任意 $u,v\in U$, 有 $f(u)=f(v)$, 则称 $f$ 为 局部常函数 (locally constant function).

例子 4.1.7 (连续函数与离散/余离散拓扑空间)

设有任意集合 $S$ 以及 $(X,\tau )$ 为拓扑空间, 则：

1. 任意从离散拓扑空间到 $X$ 的函数 $\phantom{\mathrm{Disc}}\mathrm{Disc}\phantom{\mathrm{Disc}}\left(S\right)\to X$ 都是连续的;
2. 任意从余离散拓扑空间到 $X$ 的函数 $X\to \phantom{\mathrm{CoDisc}}\mathrm{CoDisc}\phantom{\mathrm{CoDisc}}\left(S\right)$ 都是连续的;
3. 任意从 $X$ 到离散拓扑空间的连续函数 $X\to \phantom{\mathrm{Disc}}\mathrm{Disc}\phantom{\mathrm{Disc}}\left(S\right)$ 是局部常函数.

证明

1. 由于对任意 $X$ 中的开集 $O\in {\tau }_X$, 其的原像 $f^{-1}(O)\in \mathcal{P}(S)={\tau }_{\phantom{\mathrm{Disc}}\mathrm{Disc}\phantom{\mathrm{Disc}}\left(S\right)}$, 显然 $\phantom{\mathrm{Disc}}\mathrm{Disc}\phantom{\mathrm{Disc}}\left(S\right)\to X$ 是连续的.

2. 由于任意开集 $O\in \phantom{\mathrm{CoDisc}}\mathrm{CoDisc}\phantom{\mathrm{CoDisc}}\left(S\right)=\{\mathrm{\varnothing },S\}$, 那么分类讨论：

   • 当 $f^{-1}(\mathrm{\varnothing })$, 根据空集的原像为空, 则推得 $f^{-1}(\mathrm{\varnothing })=\mathrm{\varnothing }\in {\tau }_X$;
   • 当 $f^{-1}(S)$, 显然其原像便是 $X\in {\tau }_X$.

   因此函数 $X\to \phantom{\mathrm{CoDisc}}\mathrm{CoDisc}\phantom{\mathrm{CoDisc}}\left(S\right)$ 是连续的.

3. 由于 $\phantom{\mathrm{Disc}}\mathrm{Disc}\phantom{\mathrm{Disc}}\left(S\right)$ 是离散的当且仅当其的独点集 $\{y\}$ 是 $\phantom{\mathrm{Disc}}\mathrm{Disc}\phantom{\mathrm{Disc}}\left(S\right)$ 中的开集, 若 $f:X\to \phantom{\mathrm{Disc}}\mathrm{Disc}\phantom{\mathrm{Disc}}\left(S\right)$ 为连续函数, 则推得 $f^{-1}(\{y\})$ 为 $X$ 中的开集, 现在假设有常函数 $f(x)=y$, 那么 $x\in f^{-1}(\{y\})$ 且 $f^{-1}(\{y\})$ 是开的, 因此对于任意点 $x\in X$, 都存在开邻域 $f^{-1}(\{y\})$ 使得满足了 $f(x)=y$, 所以 $f$ 为局部常函数.

例子 4.1.8 (对角)

• 设 $X$ 为任意集合, 映射 $\begin{array}{rl}X& \stackrel{{\mathrm{\Delta }}_X}{\to }X\times X\\ x& \stackrel{\phantom{{\mathrm{\Delta }}_X}}{\mapsto }(x,x)\end{array}$ 被称为 $X$ 的 对角 (diagonal), 记为 ${\mathrm{\Delta }}_X$.
• 特别地若 $(X,\tau )$ 为拓扑空间, 则其的对角化构成连续函数 $(X,\tau )\to (X\times X,{\tau }_{X\times X})$, 因为对于 ${\tau }_{X\times X}$ 中的拓扑基 $U_1\times U_2$, 根据拓扑公理, 其原像 $U_1\cap U_2$ 仍是 $X$ 中的开集.

例子 4.1.9 (连续函数的像分解)

设 $f:(X,{\tau }_X)\to (Y,{\tau }_Y)$ 为连续函数, 则可将 $f$ 分解为以下连续函数的复合形式： $$f:X\stackrel{\text{满射}}{\to }f(X)\stackrel{\mathrm{单}\mathrm{射}}{\to }Y$$ 这意味着我们需要 "拓扑化" $f(X)$, 因此我们有以下两种方式将其化为拓扑空间：

1. 从子空间拓扑的角度考虑, 由于 $f(X)$ 可作为 $Y$ 的子空间, 即是说 $f(X)$ 与子空间拓扑 ${\tau }_{f(X)}={\tau }_Y\cap f(X)$ 组成了拓扑空间, 显然由于 $f(X)\subset Y$ 就使得存在 $f(X)\to Y$ 的单射连续函数. 另一方面, 由于 $X\to f(X)$ 显然为满射, 且对于任意 $O\in {\tau }_{f(X)}$, 则可使得 $f^{-1}(O)\in {\tau }_X$, 这是因为 ${\tau }_{f(X)}={\tau }_Y\cap f(X)$ 蕴含了 $O\in {\tau }_Y$, 当 $f$ 为连续函数时 $O$ 于 $X$ 中是开的, 因此 $X\to f(X)$ 为连续函数.
2. 从商空间拓扑的角度考虑, 由于可将 $f(X)$ 视为是 $X$ 的商拓扑空间, 那么满射 $\pi :X\to f(X)$ 便是典范投射. 另一方面, 对于任意 $O\in {\tau }_Y$, 有 $f^{-1}(O)\in {\tau }_Y\cap f(X)$, 而对于任意 $U\in {\tau }_Y\cap f(X)$, 由于 $f$ 为连续函数, 则有 $f^{-1}(U)\in {\tau }_X$, 因此 $U$ 于商拓扑空间 $f(X)$ 中亦是开的.

注释

然而更广义地, 连续函数本身并不会保有拓扑空间中的开集亦或是闭集, 例如以下这些例子.

例子 4.1.10 (连续函数不保有开/闭集的例子)

下述均假设 $\mathbb{R}$ 为携带了度量拓扑的欧氏空间：

• 若有 $a\in \mathbb{R}$ 使得 $\mathbb{R}$ 中有连续的常值函数 $\begin{array}{rl}\mathbb{R}& \stackrel{c_a}{\to }\mathbb{R}\\ x& \stackrel{\phantom{c_a}}{\mapsto }a\end{array}$, 即对于任意 $x\in \mathbb{R}$ 都要映射至 $a$ 中, 意味着任意开集都被映射至闭的独点集 $\{a\}$ 中.
• 假设有从 $\mathbb{R}$ 的离散拓扑到 $\mathbb{R}$ 的恒同连续函数 ${\text{id}}_{\mathbb{R}}:\phantom{\mathrm{Disc}}\mathrm{Disc}\phantom{\mathrm{Disc}}\left(\mathbb{R}\right)\to \mathbb{R}$, 显然独点集 $\{a\}\in \phantom{\mathrm{Disc}}\mathrm{Disc}\phantom{\mathrm{Disc}}\left(\mathbb{R}\right)$ 是开的却于 $\mathbb{R}$ 中是闭的.
• 指数函数 $\exp (-):\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 将所有 $\mathbb{R}$ 中的元素 ($\mathbb{R}=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\mathrm{\varnothing }$, 因此 $\mathbb{R}$ 是闭集) 映射至开区间 $(0,\mathrm{\infty })\subset \mathbb{R}$ 中.

因此上述这些连续函数皆不保有开/闭集关系.

定义 4.1.11 (开映射与闭映射)

设有连续函数 $f:(X,{\tau }_X)\to (Y,{\tau }_Y)$：

• 若 $\underset{\begin{array}{c}O\in {\tau }_X\end{array}}{\mathrm{\forall }}f(O)\in {\tau }_Y$, 则 $f$ 被称为 开映射 (open map);
• 若 $\underset{\begin{array}{c}C\text{ 为闭集}\end{array}}{\mathrm{\forall }}f(C)\text{ 为闭集}$, 则 $f$ 被称为 闭映射 (closed map).

例子 4.1.12 (开/闭映射的像投射本身亦是开/闭的)

若连续函数 $f:(X,{\tau }_X)\to (Y,{\tau }_Y)$ 是开/闭映射, 则其像的投射 $X\to f(X)\subset Y$ 仍是开/闭映射的, 其中 $f(X)$ 为子空间.

证明

假设 $f(X)$ 的拓扑为 ${\tau }_{f(X)}:={\tau }_Y\cap f(X)$, 由于 $f$ 本身为开映射, 因此对于任意 $O\in {\tau }_X$ 有 $f(O)\in {\tau }_Y$, 并且 $f(O)\subset f(X)$ 便使得 $f(O)\subset {\tau }_Y\cap f(X)={\tau }_{f(X)}$, 因此其于 $f(X)$ 中仍为开集, 对于闭映射的证明方式亦然.

例子 4.1.13 (投射为开连续函数)

设 $(X_1,{\tau }_{X_1})$ 与 $(X_2,{\tau }_{X_2})$ 为拓扑空间, 则由它们所组成的乘积拓扑空间的 (连续) 投射是开映射 (其中 $i=1,2$)： $$\begin{array}{rl}(X_1\times X_2,{\tau }_{X_1\times X_2})& \stackrel{{\mathrm{pr}}_i}{\to }(X_i,{\tau }_{X_i})\\ (x_1,x_2)& \stackrel{\phantom{{\mathrm{pr}}_i}}{\mapsto }{x}_i\end{array}$$ 这是因为拓扑 ${\tau }_{X_1\times X_2}$ 中的任意开集 $O\subset X_1\times X_2$ 完全由基 $\mathcal{B}\subset {\tau }_{X_1\times X_2}$ 所生成, 即 ${\displaystyle \{\bigcup _{U_1\times U_2\in \beta }(U_1\times U_2):U_1\in {\tau }_{X_1},U_2\in {\tau }_{X_2}\}}$, 显然： $${\mathrm{pr}}_i(\bigcup _{U_1\times U_2\in \beta }(U_1\times U_2))\stackrel{\text{函数的像保有并}}{=}\bigcup _{U_1\times U_2\in \beta }{\mathrm{pr}}_i(U_1\times U_2)=\bigcup _{i\in I}{U}_i\in {\tau }_{X_i}$$

定义 4.1.14 (饱和集)

对于任意函数 $f:X\to Y$, 若子集 $S\subset X$ 被称为 $f$-饱和集 ($f$-saturated set), 当 $S$ 的像的原像等价于它自身, 即： $$S\subset X\text{ 为 }f\text{ 的饱和集}⟺S=f^{-1}(f(S))$$ 其中 $f^{-1}(f(S))$ 亦被称为 $S$ 的 $f$-饱和化 ($f$-saturation).

例子 4.1.15 (原像为饱和集)

对于任意函数 $f:X\to Y$, 以及任意子集 $S\subset Y$, 则原像 $f^{-1}(S)\subset X$ 为 $f$-饱和集

证明

$$f^{-1}(f(f^{-1}(S)))=\{x\in X:f(x)\in f(f^{-1}(S))\}=\{x\in X:x\in f^{-1}(S)\}=f^{-1}(S)$$

引理 4.1.16 (饱和集的等价定义)

对于任意函数 $f:X\to Y$, 若子集 $S\subset X$ 为 $f$-饱和集 $⟺$ 其补集 $X\mathrm{\setminus }S$ 也是饱和的.

证明

$$\begin{array}{rl}X\mathrm{\setminus }S& =X\mathrm{\setminus }{f}^{-1}(f(S))\\ & =\{x\in X:x\notin f^{-1}(f(S))\}\\ & =\{x\in X:f(x)\notin f(S)\}\\ & =\{x\in X:f(x)\in f(X\mathrm{\setminus }S)\}\\ & =f^{-1}(f(X\mathrm{\setminus }S))\end{array}$$

命题 4.1.17 (商拓扑空间的等价定义)

设 $f:(X,{\tau }_X)\to (Y,{\tau }_Y)$ 为连续函数, 则以下命题等价：

1. 若底层函数 $f:X\to Y$ 为满射且 ${\tau }_Y$ 为商拓扑 (该条件等价于说 $f$ 为商映射).
2. $f$ 将 $X$ 中的 开 $f$-饱和集 映射至 $Y$ 中的开集.
3. $f$ 将 $X$ 中的 闭 $f$-饱和集 映射至 $Y$ 中的闭集.

证明

只证明 $(1)\iff (2)$, 因为 $(3)$ 由 引理 4.1.16 给出. 下设 $S$ 为 $X$ 中的开 $f$-饱和集：

$(\Rightarrow )$ 设 $f$ 为满射且满足 ${\tau }_Y=\{O\subset Y:f^{-1}(O)\in {\tau }_X\}$, 需要验证 $f(S)\in {\tau }_Y$, 那么按 ${\tau }_Y$ 的定义： $$f^{-1}(f(S))\stackrel{S\text{ 饱和}}{=}S\stackrel{S\text{ 开}}{\in }{\tau }_X$$ $(\Leftarrow )$ 反之若设 $\underset{\begin{array}{c}\text{开饱和集 }S\subset {\tau }_X\end{array}}{\mathrm{\forall }}f(S)\in {\tau }_Y$, 且令 $Y=X/\sim$, 需要分别验证商映射的条件：

• $f$ 为满射, 这是显然的.

• $f$ 为商映射, 即需验证 $\underset{\begin{array}{c}U\subset Y\end{array}}{\mathrm{\forall }}U\in {\tau }_Y⟺f^{-1}(U)\in {\tau }_X$, 分别讨论：

  $(\Rightarrow )$ $\underset{\begin{array}{c}\text{开集 }U\in {\tau }_Y\end{array}}{\mathrm{\forall }}{f}^{-1}(U)\in {\tau }_X$, 这由 $f$ 是连续函数直接给出.

  $(\Leftarrow )$ 由于 $f^{-1}(U)\in {\tau }_X$ 是开的, 由 例子 4.1.15 易知 $f^{-1}(U)$ 亦饱和, 因此由假设得 $f(f^{-1}(U))\in {\tau }_Y$.

引理 4.1.18 (于闭映射下的饱和闭集的饱和开邻域)

设有以下条件：

1. $f:(X,{\tau }_X)\to (Y,{\tau }_Y)$ 为闭映射;
2. $C\subset X$ 为 $X$ 的闭集且其是 $f$-饱和的;
3. $U\supset C$ 为包含了 $C$ 的开集;

则存在最小的开 $f$-饱和集 $V$ 仍包含了 $C$, 即 $U\supset V\supset C$.

4.2. 同胚

定义 4.2.1 (同胚映射)

设 $X,Y$ 为拓扑空间, 若 $f:X\to Y$ 是一个双射, 并且 $f$ 与 $f^{-1}$ 都是连续的, 则：

• 称 $f$ 为一个 同胚映射 / 同胚 / 拓扑同构 (homeomorphism / topological isomorphism).
• 称拓扑空间 $X$ 与 $Y$ 是 同胚的 (homeomorphic), 或称 $X$ 同胚于 $Y$.

注释

• 若 $f$ 为同胚, 则 $f$ 的逆连续函数 $g=f^{-1}$ 仍是同胚;

• 给定任意关于拓扑空间的命题/性质 $P$, 总是有以下的不变量： $$((X_{,}{\tau }_X)\simeq (Y,{\tau }_Y))⟹(P(X_{,}{\tau }_X)⟺P(Y,{\tau }_Y))$$ 这被称为 $(X_{,}{\tau }_X)$ 与 $(Y,{\tau }_Y)$ 之间的 同胚不变量 (homeomorphism invariants).

• 事实上拓扑空间范畴 $\mathrm{Top}$ 中的同构关系便是同胚, 因此将保有以下的基本性质.

命题 4.2.2 (同胚映射的基本性质)

设 $X,Y,Z$ 为拓扑空间, 则：

1. 恒同映射 $1_X:X\to X$ 同胚;
2. 若有同胚 $f:X\to Y$, 则 $f^{-1}:Y\to X$ 亦同胚;
3. 若有同胚 $f:X\to Y$ 以及 $g:Y\to Z$, 则 $g\circ f:X\to Z$ 同胚.

注释

需要注意的是, 并非任意双射的连续函数都是同胚的, 因为其的逆函数可能并不连续, 例如以下这个反例.

例子 4.2.3 ($[0,2\pi )$ 与 $S^1$)

• 考虑从半开区间 $[0,2\pi )$ 到单位圆 $S^1$ (即作为 $2$ 维欧氏空间 ${\mathbb{R}}^2$ 的子空间) 的连续映射 $\begin{array}{rl}[0,2\pi )& \to S^1\subset {\mathbb{R}}^2\\ t& \mapsto (\cos (t),\sin (t))\end{array}$, 其虽然是个双射, 但它的逆函数于点 $(1,0)\in S^1\subset {\mathbb{R}}^2$ 却并非连续, 因此 $f$ 并不是同胚.
• 另一方面, 我们可以由一些 拓扑不变量 (topological invariants) 判断两个空间之间是否同胚, 例如接下来将会提及到 $S^1$ 本身是紧拓扑空间而 $[0,2\pi )$ 并非, 那么 $S^1$ 有非平凡的 基本群 (fundamental group) 而 $[0,2\pi )$ 为平凡的, 因此两者不可能同胚.

命题 4.2.4 (同胚是连续的开双射)

设 $f:(X,{\tau }_X)\to (Y,{\tau }_Y)$ 为连续函数, 则以下条件是等价的：

1. $f$ 为同胚;
2. $f$ 为双射且为开映射;
3. $f$ 为双射且为闭映射.

例子 4.2.5 (独点集同胚于点拓扑空间)

设 $(X,{\tau }_X)$ 为非空拓扑空间, 以及任意点 $x\in X$, 则独点集 $\{x\}\subset X$ 携带它的子空间拓扑 ${\tau }_{\{x\}}$ 所构成的空间同胚于点拓扑空间, 即： $$(\{x\},{\tau }_{\{x\}})\simeq \ast$$

例子 4.2.6 (开区间同胚于实数轴)

设 $\mathbb{R}$ 为携带了度量拓扑的欧氏空间, 则开区间 $(-1,1)\subset \mathbb{R}$ 以及其的子空间拓扑所构成的子空间同胚于 $\mathbb{R}$, 即 $(-1,1)\simeq \mathbb{R}$, 因为我们可以给出一对互逆的连续映射, 例如： $$\begin{array}{rl}\mathbb{R}& \to (-1,1)\\ x& \mapsto \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\\ \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}& \mapsto x\end{array}$$

上述这一对连续映射不一定唯一, 我们还有很多其他取法使得它构成同胚. 类似地, 对任意 $a<b\in \mathbb{R}$ 还有以下结论：

• 任意开区间 $(a,b)\subset \mathbb{R}$ 连带它的子空间拓扑, 它们之间是相互同胚的.
• 任意半开区间 $[a,b)$ 之间是相互同胚的.
• 任意半开区间 $(a,b]$ 之间是相互同胚的.

更广义的说, 对任意 ${\mathbb{R}}^n$ 中的开球 $B_0^{\circ }(ϵ)$ 连带它的子空间拓扑, 皆有同胚 $B_0^{\circ }(ϵ)\simeq {\mathbb{R}}^n$.

例子 4.2.7 (广义乘积空间之间的同胚)

由 [例子 4.1.3](#例子 4.1.3 (乘积拓扑空间的函子性)) 我们知道乘积拓扑空间可被视为函子 $(-)\times (-):\mathrm{Top}\times \mathrm{Top}\to \mathrm{Top}$, 而 $\mathrm{Top}$ 连带该函子天然地构成了对称幺半范畴. 具体的说, 考虑任意拓扑空间 $W,X,Y,Z\in \mathrm{Top}$ 及以下四个同胚：

• 结合子 (associator)：${\alpha }_{X,Y,Z}:(X\times Y)\times Z\stackrel{\simeq }{\to }X\times (Y\times Z)$;
• 左单位子 (left unitor)：${\lambda }_X:\ast \times X\stackrel{\simeq }{\to }X$;
• 右单位子 (right unitor)：${\rho }_X:X\times \ast \stackrel{\simeq }{\to }X$;
• 辩 (braiding)：${\beta }_{X,Y}:X\times Y\stackrel{\simeq }{\to }Y\times X$.

使得以下一系列图表可交换, 以及保证了对称性：

• 三角恒等式 (triangle identity)： $$(X\times \ast )\times Y{\rho }_X\times 1_Y{\alpha }_{X,\ast ,Y}X\times (\ast \times Y)1_X\times {\lambda }_{Y}X\times Y$$

• 五角形恒等式 (pentagon identity)： $$((W\times X)\times Y)\times Z{\alpha }_{W,X,Y}\times 1_Z{\alpha }_{W\times X,Y,Z}(W\times (X\times Y))\times Z{\alpha }_{W,X\times Y,Z}(W\times X)\times (Y\times Z){\alpha }_{W,X,Y\times Z}W\times ((X\times Y)\times Z)1_W\times {\alpha }_{X,Y,Z}W\times (X\times (Y\times Z))$$

• 六角形恒等式 (hexagon identities)： $$(X\times Y)\times Z{\alpha }_{X,Y,Z}{\beta }_{X,Y}\times 1_{Z}X\times (Y\times Z){\beta }_{X,Y\times Z}(Y\times Z)\times X{\alpha }_{Y,Z,X}X\times (Y\times Z)1_X\times {\beta }_{Y,Z}({\alpha }_{X,Y,Z}{)}^{-1}(X\times Y)\times Z{\beta }_{X\times Y,Z}Z\times (X\times Y)({\alpha }_{Z,X,Y}{)}^{-1}(Y\times X)\times Z{\alpha }_{Y,X,Z}Y\times (X\times Z)1_Y\times {\beta }_{X,Y}Y\times (Z\times X)X\times (Z\times Y)({\alpha }_{X,Z,Y}{)}^{-1}(X\times Z)\times Y{\beta }_{X,Z}\times 1_Y(Z\times X)\times Y$$

• 对称性 (symmetry)： $${\beta }_{Y,X}\circ {\beta }_{X,Y}=\mathrm{id}:X\times Y\to X\times Y$$

而由范畴论中其中一个著名的结论, 称之为 MacLane 融贯定理 (MacLane coherence theorem), 它保证了我们无论怎样挪动其中的括号, 使得结合顺序发生改变, 皆不会影响最终乘积空间之间是同胚的.

例子 4.2.8 (区间的乘积同胚于超立方体)

令 $n\in \mathbb{N}$, 分别考虑：

• 一族闭区间 ${\{[a_i,b_i]\subset \mathbb{R}\}}_{1\le i\le n}$ (其中 $a_i\le b_i$), 它们连同由 $\mathbb{R}$ 所诱导出的度量拓扑 ${\tau }_i\subset \mathcal{P}(\mathbb{R})$ 组成了拓扑空间 $([a_i,b_i],{\tau }_i)$;
• 而上述闭区间 $[a_i,b_i]$ 的笛卡尔积连同乘积拓扑 ${\tau }_{\text{Prod}}$ 构成了乘积空间 ${\displaystyle (\prod _{1\le i\le n}[a_i,b_i],{\tau }_{\text{Prod}})}$;
• 子集 ${\displaystyle S_{\le }:\{\overrightarrow{x}\in {\mathbb{R}}^n:\underset{\begin{array}{c}1\le i\le n\end{array}}{\mathrm{\forall }}{a}_i\le x_i\le b_i\}\subset {\mathbb{R}}^n}$ 连同 ${\mathbb{R}}^n$ 中的子拓扑 ${\tau }_{\text{Sub}}$ 同样构成子空间 ${\displaystyle (S_{\le },{\tau }_{\text{Sub}})}$.

则可得到以下同胚： $$(\prod _{1\le i\le n}[a_i,b_i],{\tau }_{\text{Prod}})\simeq (S_{\le },{\tau }_{\text{Sub}})$$ 开区间也是类似的, 换言之我们有： $$(\prod _{1\le i\le n}(a_i,b_i),{\tau }_{\text{Prod}})\simeq (S_{<},{\tau }_{\text{Sub}})$$

证明

只证闭区间的情形, 开区间是类似的. 考虑映射 ${\displaystyle \phi :(\prod _{1\le i\le n}[a_i,b_i],{\tau }_{\text{Prod}})\to (S_{\le },{\tau }_{\text{Sub}})}$ 显然在基础集上保持了双射, 而 ${\tau }_{\text{Prod}}$ 的基被取为： $$\mathcal{B}:=\{\prod _{1\le i\le n}(a_i,b_i)\subset {\mathbb{R}}^n:(a_i,b_i)\in {\tau }_i\}$$ 由先前的拓扑基测试, 我们可以证明 $\mathcal{B}$ 也是 ${\tau }_{\text{Sub}}$ 的基：

• $\mathcal{B}$ 覆盖了 $S_{\le }$：对任意 $\overrightarrow{x}\in S_{\le }$, 总能够找到 $\mathcal{B}$ 中一个开区间之积使得 $\overrightarrow{x}\in {\displaystyle \prod _{1\le i\le n}(x_i-1,x_i+1)}$.
• 对任意 $\mathcal{B}$ 中的 $B_1={\displaystyle \prod _{1\le i\le n}(a_i,b_i)}$ 以及 $B_2={\displaystyle \prod _{1\le i\le n}(c_i,d_i)}$, 显然对任意 ${\displaystyle \overrightarrow{x}\in B_1\cap B_2}$ 总是有 ${\displaystyle \overrightarrow{x}\in \prod _{1\le i\le n}(max(a_i,c_i),min(b_i,d_i))\subset B_1\cap B_2}$ 成立.

因此由 $\mathcal{B}$ 所生成的拓扑 ${\tau }_{\text{Prod}}={\tau }_{\mathcal{B}}$ 必定等价于 ${\tau }_{\text{Sub}}$, 显然 ${\tau }_{\text{Prod}}$ 与 ${\tau }_{\text{Sub}}$ 中的开集于双射 $\phi$ 下互相为对方的开集, 因此 $\phi$ 是连续的.

例子 4.2.9 (闭区间于端点处粘合同胚于单位圆)

考虑空间 $\mathbb{R}$ 中的闭区间 $[0,1]$, 如果我们将该区间两侧端点通过定义等价关系 $0\sim 1$ 进行粘合, 则可得到以下商空间到 $S^1$ 的同胚： $$[0,1]/(0\sim 1)\simeq S^1$$ 更详细地, 将子空间 $S^1=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x^2+y^2=1\}$ 视作嵌入 $S^1\hookrightarrow {\mathbb{R}}^2$, 以及以下满的连续映射： $$\begin{array}{rl}[0,1]& \stackrel{\phi }{\to }{S}^1\\ t& \stackrel{\phantom{\phi }}{\mapsto }(\cos (2\pi t),\sin (2\pi t))\end{array}$$ 可见 $\phi (0)=\phi (1)$, 这个等价关系可以将 $S^1$ 降解为商空间 $[0,1]/(0\sim 1)$, 并给出了交换图表 $[0,1]\pi \phi [0,1]/(0\sim 1)\hat{\phi }{S}^1$, 其中 $\hat{\phi }$ 是同胚.

证明

• 首先我们知道 $\hat{\phi }$ 显然是个连续函数, 这是因为： $$S^1\text{ 中的开集 }O\in {\tau }_{S^1}⟺{\hat{\phi }}^{-1}(O)\in {\tau }_{\text{Quot}}⟺{\pi }^{-1}({\hat{\phi }}^{-1}(O))\in {\tau }_{[0,1]}$$ 即是说 $S^1$ 中的任意开集当且仅当是 $[0,1]$ 中的开集, 由连续函数 $\phi$ 的定义立即得证.

• 另一方面, 我们需要确保存在逆连续函数 ${\hat{\phi }}^{-1}$：

  可以考虑将 $\phi$ 限制到开区间 $(0,1)$ 上, 这显然有逆连续函数 $\phi {|}_{(0,1)}$, 然而由于 $\phi (0)=\phi (1)$, 这说明 $[0,1)$, $(0,1]$ 皆不是 $[0,1]$ 中的逆, 唯一的补救方式是将端点商掉, 即 $0\sim 1$.

例子 4.2.10 (圆柱体, 莫比乌斯带, 环面)

考虑一个正方形, 即 $[0,1{]}^2$, 我们可以将它的左右/上下对边分别粘合, 则可构造出环面 $T^2$：

类似地, 如果将左右对边反向粘合, 则可得到以下的莫比乌斯带：

例子 4.2.11 (球极投影)

设 $n\in \mathbb{N}$, 总是存在去除其中一个极点 $N=(0,\cdots ,0,1)\in S^n$ 的 $S^n$ 与 ${\mathbb{R}}^n$ 之间的同胚： $${\mathbb{R}}^{n+1}\supset S^n\mathrm{\setminus }\{N\}\stackrel{\simeq }{\to }{\mathbb{R}}^n$$ 该映射称之为 球极投影 (stereographic projection).

证明

首先对于 $n=2$ 的情况, 即是说需要构造映射 $S^2\mathrm{\setminus }\{N\}\to {\mathbb{R}}^2$, 其中 $S^2$ 的极点为 $N=(0,0,1)\in {\mathbb{R}}^3$, 然后可以将带有原点 $O\in {\mathbb{R}}^3$ 的二维平面视作 ${\mathbb{R}}^3$ 下的子空间, 例如： $${\mathbb{R}}_{\text{P}}^2:=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3:z=0\}\simeq {\mathbb{R}}^2\subset {\mathbb{R}}^3$$ 考虑定义一个更广义的映射 $\phi :S^2\mathrm{\setminus }\{N\}\to {\mathbb{R}}_{\text{P}}^2$, 并将球面上的点 $P\in S^2\mathrm{\setminus }\left\{N\right\}$ 映射至投影平面 ${\mathbb{R}}_{\text{P}}^2$ 上的一个点 $\phi (P)$. 从几何上观察, 我们希望构造穿过点 $N,P$, 然后最终抵达 $\phi (P)$ 的一条直线, 例如以下立体交互图：

现在将 $N,P,\phi (P)$ 这些直线上的点皆视为向量, 那么我们知道向量 $P-N$ 与该直线保持同一方向 (但从原点 $O$ 出发), 再乘以任意的 $t\in \mathbb{R}$, 那么我们可以获得一条与上述直线平行的长直线 $t(P-N)$, 再将该直线向上 ($Z$ 轴方向) 抬升至 $N$, 记该直线上的一点为 $\ell =(x,y,z)$, 用公式表达即有： $$N+t(P-N)=\ell$$ 我们亦可用交互图观察：

可见当 $\ell$ 抬升至 $1$ 时, 它与上方直线重叠, 且将 $\ell$ 限制于 $z=0$ 时则有 $\ell {|}_{z=0}=\phi (P)$, 可得以下线性方程组： $$\begin{array}{rl}N+t(P-N)& =\ell \\ \left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3-1\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 0\end{array}\right]\end{array}⟹\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}t{p}_1& =x\\ t{p}_2& =y\\ 1+t(p_3-1)& =0\end{array}\end{array}$$ 通过简单的移项, 容易解得 $t={\displaystyle \frac{1}{1-p_3}}$, 因此 ${\displaystyle x=\frac{p_1}{1-p_3}}$ 而 ${\displaystyle y=\frac{p_2}{1-p_3}}$, 从而建立了映射 $\begin{array}{rl}{S}^2\mathrm{\setminus }\{N\}& \stackrel{\phi }{\to }{\mathbb{R}}_{\text{P}}^2\\ (p_1,p_2,p_3)& \stackrel{\phantom{\phi }}{\mapsto }(\frac{p_1}{1-p_3},\frac{p_2}{1-p_3},0)\end{array}$, 而将该映射推广后则得： $$\begin{array}{rl}{\mathbb{R}}^{n+1}\supset S^n\mathrm{\setminus }\{N\}& \stackrel{\phi }{\to }{\mathbb{R}}_{\text{P}}^n\\ (x_1,x_2,\cdots ,x_{n+1})& \stackrel{\phantom{\phi }}{\mapsto }{\displaystyle \frac{1}{1-x_{n+1}}\cdot (x_1,x_2,\cdots ,x_n,0)}\end{array}$$ 再由将 $S^n\mathrm{\setminus }\{N\}$ 视作为 $S^{n+1}$ 的子空间以及有理函数是连续的这个结论, 容易得到上述映射是连续的.

另一方面, 利用与上方同样的手段, 需要找出逆映射 ${\phi }^{-1}:{\mathbb{R}}_{\text{P}}^2\to S^2\mathrm{\setminus }\{N\}$ 并证明它是连续的. 考虑设 $Q\in {\mathbb{R}}_{\text{P}}^2$, 我们知道对任意 $t\in \mathbb{R}$ 有： $$\begin{array}{rl}N+t(Q-N)& =\ell \\ \left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\\ 0-1\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]\end{array}⟹\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}t{q}_1& =x\\ t{q}_2& =y\\ 1-t& =z\end{array}\end{array}$$ 而将点 $\ell =(x,y,z)$ 限制于 $S^2\mathrm{\setminus }\{N\}=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3:x^2+y^2+z^2=1\}\mathrm{\setminus }\{N\}$ 时则有 $\ell {|}_{S^n\mathrm{\setminus }\{N\}}={\phi }^{-1}(Q)$​, 那么将上述 $x,y,z$ 分别代入： $$\begin{array}{rl}(t{q}_1{)}^2+(t{q}_2{)}^2+(1-t{)}^2& =1\\ t^2{q}_1^2+t^2{q}_2^2+(1-2t+t^2)& =1\\ (q_1^2+q_2^2+1)t^2-2t& =0\end{array}$$ 通过二次通项公式可得两个关于 $t$ 的解分别为： $$t=0\text{或}t=\frac{2}{q_1^2+q_2^2+1}$$ 再将该结果代入到原来的线性方程组, 容易解得 $(x,y,z)=(0,0,1)=N$ 或： $$(x,y,z)=(\frac{2q_1}{q_1^2+q_2^2+1},\frac{2q_2}{q_1^2+q_2^2+1},\frac{q_1^2+q_2^2-1}{q_1^2+q_2^2+1})$$ 从而有 $\begin{array}{rl}{\mathbb{R}}_{\text{P}}^2& \stackrel{{\phi }^{-1}}{\to }{S}^2\mathrm{\setminus }\{N\}\\ (q_1,q_2,0)& \stackrel{\phantom{{\phi }^{-1}}}{\mapsto }\text{上述结论}\end{array}$​, 再将该映射推广后则得： $$\begin{array}{rl}{\mathbb{R}}_{\text{P}}^n& \stackrel{{\phi }^{-1}}{\to }{S}^n\mathrm{\setminus }\{N\}\\ (x_1,x_2,\cdots ,x_n,0)& \stackrel{\phantom{{\phi }^{-1}}}{\mapsto }\frac{1}{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2+1}\cdot (2x_1,2x_2,\cdots ,2x_n,x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2-1)\end{array}$$ 同样地, 有理函数是连续的, 这便证得了 $S^n\mathrm{\setminus }\{N\}\stackrel{\simeq }{\to }{\mathbb{R}}_{\text{P}}^n\stackrel{\simeq }{\to }{\mathbb{R}}^n$.

命题 4.2.12 (欧氏空间维度的拓扑不变量)

对 $n_1,n_2\in \mathbb{N}$, 只要 $n_1\ne n_2$, 则以 $n_1,n_2$ 为维度的欧氏空间, 它们之间不同胚, 即 ${\mathbb{R}}^{n_1}\not\simeq {\mathbb{R}}^{n_2}$.

注释

该命题的证明手段不是初等的, 需要用代数拓扑中的上同调等相关工具方可给出证明, 因此证明从略.