点集拓扑 3 - 连续函数与同胚

2023-05-25

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3.1. 连续函数

定义 3.1.1 (连续函数)

设 $(X, \tau_X)$ 与 $(Y, \tau_Y)$ 为拓扑空间, 若 $f : (X, \tau_X) \to (Y, \tau_Y)$ 被称为 连续函数 / 连续映射 (continuous function / continuous map) 当 $f$ 中 $Y$ 的任意开集的原像仍是 $X$ 中的开集, 具体即为： $$ \text{$f$ 是连续的} \coloneqq \Forall{O \in \tau_Y} f^{-1}(O) \in \tau_X $$

命题 3.1.2 (连续函数于闭集下的等价定义)

设 $(X, \tau_X)$ 与 $(Y, \tau_Y)$ 为拓扑空间, 若 $f : (X, \tau_X) \to (Y, \tau_Y)$ 是连续的当且仅当 $f$ 中 $Y$ 的任意闭集的原像仍是 $X$ 中的闭集.

注释 (全体拓扑空间构成具体范畴)

若将拓扑空间视为范畴中的对象, 并且以连续函数作为当中的态射, 则可验证其的确构成拓扑空间范畴, 记为 $\Top$;
若假设有集合范畴 $\Sets$, 且定义 $\Map{U}{\Top}{\Sets}{(X, \tau_X)}{X}$ 为 遗忘函子 (forgetful functor), 意味着 $U$ 是 忠实 (faithful) 的, 即下述映射是单射的： $$ \map{\op{Top}((X, \tau_X), (Y, \tau_Y))}{\Sets(U((X, \tau_X)), U((Y, \tau_Y)))}{[(X, \tau_X) \overset{\text{连续函数}}{\to} (Y, \tau_Y)]}{[X \overset{\text{函数}}{\to} Y]} $$
若任意范畴携带了从其到集合范畴的忠实函子, 则该范畴被称为 具体范畴 (concrete category), 显然 $\Top$ 便是具体范畴.

例子 3.1.3 (乘积拓扑空间的构造是函子式的)

设 $(X_1, \tau_{X_1}), (X_2, \tau_{X_2}), (Y_1, \tau_{Y_1}), (Y_2, \tau_{Y_2})$ 为拓扑空间, 以及一对连续函数： $$ \begin{align} f_1 : (X_1, \tau_{X_1}) \to (Y_1, \tau_{Y_1}) \ f_2 : (X_2, \tau_{X_2}) \to (Y_2, \tau_{Y_2}) \end{align} $$ 则可诱导出它们在基础集的二元积上的函数 $\Map{f_1 \times f_2}{X_1 \times X_2}{Y_1 \times Y_2}{(x_1, x_2)}{(f_1(x_1), f_2(x_2))}$, 且 $f_1 \times f_2$ 亦表示了是从二元乘积拓扑空间 $X_1 \times X_2$ 到 $Y_1 \times Y_2$ 的连续函数, 即： $$ (X_1 \times X_2, \tau_{X_1 \times X_2}) \overset{f_1 \times f_2}{\to} (Y_1 \times Y_2, \tau_{Y_1 \times Y_2}) $$ 易见乘积拓扑空间这一构成过程是函子式的, 因为可引出以下从拓扑空间的乘积范畴 $\Top \times \Top$ 到 $\Top$ 的函子 $(-) \times (-)$： $$ \Map{(-) \times (-)}{\Top \times \Top}{\Top}{((X_1, \tau_{X_1}), (X_2, \tau_{X_2}))}{(X_1 \times X_2, \tau_{X_1 \times X_2})} $$

其中 $\tau_{X_1 \times X_2}$ 为由原先分别于 $X_1, X_2$ 中的拓扑基 $U_1 \in \tau_{X_1}$ 以及 $U_2 \in \tau_{X_2}$ 的笛卡尔积 $U_1 \times U_2$ 所生成的拓扑.

例子 3.1.4 ($\Top$ 中的始对象与终对象)

设 $(X, \tau)$ 为拓扑空间, 则必然存在唯一的连续函数：

从空拓扑空间到 $X$ 的连续函数 $\empty \overset{\exists!}{\to} X$, 其中 $\empty$ 为 $\Top$ 中的始对象;
从 $X$ 到点拓扑空间的连续函数 $X \overset{\exists!}{\to} $, 其中 $$ 为 $\Top$ 中的终对象.

例子 3.1.5 (常连续函数)

设 $(X, \tau)$ 为拓扑空间以及任取一点 $x \in X$, 则存在唯一的连续函数 $* \overset{x}{\to} X$ 使得该映射的像恰好便是点 $x$, 因此事实上对于任意点 $x \in X$ 则可得出以下这个双射关系： $$ \Set{ * \overset{f}{\to} X : \text{$f$ 是连续的} } \simeq X $$

更进一步地, 对于任意拓扑空间 $(X, \tau_X)$ 以及 $(Y, \tau_Y)$, 若连接它们之间的连续函数 $f : (X, \tau_X) \to (Y, \tau_Y)$ 被称为映射至某一点 $y \in Y$ 的常函数, 则存在映射分解 $\text{const}_y : X \overset{\exists!}{\to} * \overset{y}{\to} Y$.

定义 3.1.6 (局部常函数)

设 $(X, \tau_X), (Y, \tau_Y)$ 均为拓扑空间, 以及连续函数 $f : (X, \tau_X) \to (Y, \tau_Y)$, 若对于任意点 $x \in X$ 都存在它的邻域 $U \sub X$ 使得 $f$ 在 $U$ 中是常函数, 即对于任意 $u, v \in U$, 有 $f(u) = f(v)$, 则称 $f$ 为 局部常函数 (locally constant function).

例子 3.1.7 (连续函数与离散/余离散拓扑空间)

设有任意集合 $S$ 以及 $(X, \tau)$ 为拓扑空间, 则：

任意从离散拓扑空间到 $X$ 的函数 $\Disc{S} \to X$ 都是连续的;
任意从余离散拓扑空间到 $X$ 的函数 $X \to \CoDisc{S}$ 都是连续的;
任意从 $X$ 到离散拓扑空间的连续函数 $X \to \Disc{S}$ 是局部常函数.

证明

由于对任意 $X$ 中的开集 $O \in \tau_X$, 其的原像 $f^{-1}(O) \in \mathcal{P}(S) = \tau_{\Disc{S}}$, 显然 $\Disc{S} \to X$ 是连续的.
由于任意开集 $O \in \CoDisc{S} = \set{\empty, S}$, 那么分类讨论：
- 当 $f^{-1}(\empty)$, 根据空集的原像为空, 则推得 $f^{-1}(\empty) = \empty \in \tau_X$;
- 当 $f^{-1}(S)$, 显然其原像便是 $X \in \tau_X$.
因此函数 $X \to \CoDisc{S}$ 是连续的.
由于 $\Disc{S}$ 是离散的当且仅当其的独点集 $\set{y}$ 是 $\Disc{S}$ 中的开集, 若 $f : X \to \Disc{S}$ 为连续函数, 则推得 $f^{-1}(\set{y})$ 为 $X$ 中的开集, 现在假设有常函数 $f(x) = y$, 那么 $x \in f^{-1}(\set{y})$ 且 $f^{-1}(\set{y})$ 是开的, 因此对于任意点 $x \in X$, 都存在开邻域 $f^{-1}(\set{y})$ 使得满足了 $f(x) = y$, 所以 $f$ 为局部常函数.

例子 3.1.8 (对角)

设 $X$ 为任意集合, 映射 $\Map{\Delta_X}{X}{X \times X}{x}{(x, x)}$ 被称为 $X$ 的 对角 (diagonal), 记为 $\Delta_X$.
特别地若 $(X, \tau)$ 为拓扑空间, 则其的对角化构成连续函数 $(X, \tau) \to (X \times X, \tau_{X \times X})$, 因为对于 $\tau_{X \times X}$ 中的拓扑基 $U_1 \times U_2$, 根据拓扑公理, 其原像 $U_1 \cap U_2$ 仍是 $X$ 中的开集.

例子 3.1.9 (连续函数的像分解)

设 $f : (X, \tau_X) \to (Y, \tau_Y)$ 为连续函数, 则可将 $f$ 分解为以下连续函数的复合形式： $$ f : X \overset{\text{满射}}{\to} f(X) \overset{单射}{\to} Y $$ 这意味着我们需要 "拓扑化" $f(X)$, 因此我们有以下两种方式将其化为拓扑空间：

从子空间拓扑的角度考虑, 由于 $f(X)$ 可作为 $Y$ 的子空间, 即是说 $f(X)$ 与子空间拓扑 $\tau_{f(X)} = \tau_Y \cap f(X)$ 组成了拓扑空间, 显然由于 $f(X) \sub Y$ 就使得存在 $f(X) \to Y$ 的单射连续函数. 另一方面, 由于 $X \to f(X)$ 显然为满射, 且对于任意 $O \in \tau_{f(X)}$, 则可使得 $f^{-1}(O) \in \tau_X$, 这是因为 $\tau_{f(X)} = \tau_Y \cap f(X)$ 蕴含了 $O \in \tau_Y$, 当 $f$ 为连续函数时 $O$ 于 $X$ 中是开的, 因此 $X \to f(X)$ 为连续函数.
从商空间拓扑的角度考虑, 由于可将 $f(X)$ 视为是 $X$ 的商拓扑空间, 那么满射 $\pi : X \to f(X)$ 便是典范投射. 另一方面, 对于任意 $O \in \tau_Y$, 有 $f^{-1}(O) \in \tau_Y \cap f(X)$, 而对于任意 $U \in \tau_Y \cap f(X)$, 由于 $f$ 为连续函数, 则有 $f^{-1}(U) \in \tau_X$, 因此 $U$ 于商拓扑空间 $f(X)$ 中亦是开的.

注释

然而更广义地, 连续函数本身并不会保有拓扑空间中的开集亦或是闭集, 例如以下这些例子.

例子 3.1.10 (连续函数不保有开/闭集的例子)

下述均假设 $\R$ 为携带了度量拓扑的欧氏空间：

若有 $a \in \R$ 使得 $\R$ 中有连续的常值函数 $\Map{\text{const}_a}{\R}{\R}{x}{a}$, 即对于任意 $x \in \R$ 都要映射至 $a$ 中, 意味着任意开集都被映射至闭的独点集 $\set{a}$ 中.
假设有从 $\R$ 的离散拓扑到 $\R$ 的恒同连续函数 $\text{id}_{\R} : \Disc{\R} \to \R$, 显然独点集 $\set{a} \in \Disc{\R}$ 是开的却于 $\R$ 中是闭的.
指数函数 $\exp(-) : \R \to \R$ 将所有 $\R$ 中的元素 ($\R = \R \backslash \empty$, 因此 $\R$ 是闭集) 映射至开区间 $(0, \infin) \sub \R$ 中.

因此上述这些连续函数皆不保有开/闭集关系.

定义 3.1.11 (开映射与闭映射)

设有连续函数 $f : (X, \tau_X) \to (Y, \tau_Y)$：

若 $\Forall{O \in \tau_X} f(O) \in \tau_Y$, 则 $f$ 被称为 开映射 (open map);
若 $\Forall{\text{$C$ 为闭集}} \text{$f(C)$ 为闭集}$, 则 $f$ 被称为 闭映射 (closed map).

例子 3.1.12 (开/闭映射的像投射本身亦是开/闭的)

若连续函数 $f : (X, \tau_X) \to (Y, \tau_Y)$ 是开/闭映射, 则其像的投射 $X \to f(X) \sub Y$ 仍是开/闭映射的, 其中 $f(X)$ 为拓扑子空间.

证明

假设 $f(X)$ 的拓扑为 $\tau_{f(X)} \coloneqq \tau_Y \cap f(X)$, 由于 $f$ 本身为开映射, 因此对于任意 $O \in \tau_X$ 有 $f(O) \in \tau_Y$, 并且 $f(O) \sub f(X)$ 便使得 $f(O) \sub \tau_Y \cap f(X) = \tau_{f(X)}$, 因此其于 $f(X)$ 中仍为开集, 对于闭映射的证明方式亦然.

例子 3.1.13 (投射为开连续函数)

设 $(X_1, \tau_{X_1})$ 与 $(X_2, \tau_{X_2})$ 为拓扑空间, 则由它们所组成的乘积拓扑空间的投射 $(X_1 \times X_2, \tau_{X_1 \times X_2}) \overto{\text{pr}i} (X_i, \tau{X_i})$ 仍是开映射.

定义 3.1.14 (饱和集)

对于任意函数 $f : X \to Y$, 若子集 $S \sub X$ 被称为 $f$-饱和集 ($f$-saturated set) 当 $S$ 的像的原像等价于它自身, 即： $$ \text{$S \sub X$ 为 $f$ 的饱和集} \iff S = f^{-1}(f(S)) $$ 其中 $f^{-1}(f(S))$ 亦被称为 $S$ 的 $f$-饱和化 ($f$-saturation).

例子 3.1.15 (原像为饱和集)

对于任意函数 $f : X \to Y$, 以及任意子集 $S_Y \sub Y$, 则原像 $f^{-1}(S_Y) \sub X$ 为 $f$-饱和集.

引理 3.1.16 (饱和集的等价定义)

对于任意函数 $f : X \to Y$, 若子集 $S \sub X$ 为 $f$-饱和集 $\iff$ 其补集 $X \backslash S$ 也是饱和的.

命题 3.1.17 (商拓扑空间的等价定义)

设 $f : (X, \tau_X) \to (Y, \tau_Y)$ 为连续函数, 若底层函数 $f : X \to Y$ 为满射且 $\tau_Y$ 为商拓扑, 当且仅当：

$f$ 将 $X$ 中的开 $f$-饱和集映射至 $Y$ 中的开集; 或
$f$ 将 $X$ 中的闭 $f$-饱和集映射至 $Y$ 中的闭集, 由引理 3.1.16 给出.

引理 3.1.18 (于闭映射下的饱和闭集的饱和开邻域)

设有以下条件：

$f : (X, \tau_X) \to (Y, \tau_Y)$ 为闭映射;
$C \sub X$ 为 $X$ 的闭集且其是 $f$-饱和的;
$U \supset C$ 为包含了 $C$ 的开集;

则存在最小的开 $f$-饱和集 $V$ 仍包含了 $C$, 即 $U \supset V \supset C$.

3.2. 同胚

定义 3.2.1 (同胚映射)

设 $X, Y$ 为拓扑空间, 若 $f : X \to Y$ 是一个双射, 并且 $f$ 与 $f^{-1}$ 都是连续的, 则：

称 $f$ 为一个 同胚映射 / 同胚 / 拓扑同构 (homeomorphism / topological isomorphism).
称拓扑空间 $X$ 与 $Y$ 是 同胚的 (homeomorphic), 或称 $X$ 同胚于 $Y$.

注释

若 $f$ 为同胚, 则 $f$ 的逆连续函数 $g = f^{-1}$ 仍是同胚;
事实上拓扑空间范畴 $\Top$ 中的同构关系便是同胚, 因此将保有以下的基本性质.

命题 3.2.2 (同胚映射的基本性质)

设 $X, Y, Z$ 为拓扑空间, 则：

恒同映射 $1_X : X \to X$ 同胚;
若有同胚 $f : X \to Y$, 则 $f^{-1} : Y \to X$ 亦同胚;
若有同胚 $f : X \to Y$ 以及 $g : Y \to Z$, 则 $g \circ f : X \to Z$ 同胚.

注释

需要注意的是, 并非任意双射的连续函数都是同胚的, 因为其的逆函数可能并不连续, 例如以下这个反例.

例子 3.2.3 ($[0, 2\pi)$ 与 $S^1$)

考虑从半开区间 $[0, 2\pi)$ 到单位圆 $S^1$ (即作为 $2$ 维欧氏空间 $\R^2$ 的子空间) 的连续映射 $\map{[0, 2\pi)}{S^1 \sub \R^2}{t}{(\cos(t), \sin(t))}$, 其虽然是个双射函数, 但它的逆函数于点 $(1, 0) \in S^1 \sub \R^2$ 却并非连续, 因此 $f$ 并不是同胚.
另一方面, 我们可以由一些 拓扑不变量 (topological invariants) 来判断两个空间之间是否同胚, 例如接下来将会提及到 $S^1$ 本身是紧拓扑空间而 $[0, 2\pi)$ 并非, 那么 $S^1$ 有非平凡的 基本群 (fundamental group) 而 $[0, 2\pi)$ 为平凡的, 因此两者不可能同胚.

命题 3.2.4 (同胚是连续的开双射)

设 $f : (X, \tau_X) \to (Y, \tau_Y)$ 为连续函数, 则以下条件是等价的：

$f$ 为同胚;
$f$ 为双射且为开映射;
$f$ 为双射且为闭映射.

例子 3.2.5 (拓扑空间中的任意点同胚于点拓扑空间)

设 $(X, \tau_X)$ 为非空拓扑空间, 以及任意点 $x \in X$, 则独点集 $\set{x} \sub X$ 携带它的子空间拓扑 $\tau_{\set{x}}$ 所构成的空间同胚于点拓扑空间, 即： $$ (\set{x}, \tau_{\set{x}}) \simeq * $$

例子 3.2.6 (开区间同胚于实数轴)

设 $\R$ 为携带了度量拓扑的欧氏空间, 则开区间 $(-1, 1) \sub \R$ 以及其的子空间拓扑所构成的子空间同胚于 $\R$, 即 $(-1, 1) \simeq \R$.

未完待续...