从幺半群到幺半范畴

2024-01-18

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引言

范畴论秉承了 "推广概念" 的精神, 而对于经典代数学中所定义的代数结构, 如幺半群, 于范畴论中亦能被推广为某些范畴 $\mathcal{C}$ 中的幺半对象, 而幺半群自身无非就是集合范畴下的幺半对象而已, 不过究竟怎么样的 $\mathcal{C}$ 足以容纳这些幺半对象呢? 接下来让我们娓娓道来.

1. 幺半对象与内部化

众所周知, 在经典的抽象代数学中, 幺半群 $M$ 的定义如下：

定义 1.1 (幺半群)

设有一组资料 $(M, \cdot, 1)$, 称其为 幺半群 (monoid), 其中：
$M$ 为任意非空集;
称 $1 \in M$ 为 $M$ 的 幺元 (identity element);
二元运算 $\cdot : M \times M \to M$, 该处已蕴含封闭性;
使得满足了：
结合律：$\Forall{x,y,z \in M} (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$;
左/右幺元律：$\ExistU{1 \in M} \Forall{x \in M} 1 \cdot x = x = x \cdot 1$.

关于上述的二元运算 $\Map{\cdot}{M \times M}{M}{(x, y)}{x \cdot y}$, 这里有另外一个角度来理解它, 它是一种将 $2$-元组 $(x, y)$ 编码为标准形 $x \cdot y$ 的过程, 因此有：

编码前的结合律：$\Map{\text{双射}}{(M \times M) \times M}{M \times (M \times M)}{((x, y), z)}{(x, (y, z))}$;
编码前的左/右幺元律：$\Map{\text{双射}}{\set{1} \times M}{M}{(1, x)}{x}$ 以及 $\Map{\text{双射}}{M \times \set{1}}{M}{(x, 1)}{x}$, 其中 $\set{1}$ 为平凡幺半群.

然而该处的笛卡尔积 $\times$ 是将两个集合 "乘" 在一起的二元操作, 是定义在集合范畴 $\Sets$ 内定义的, 从范畴论的观点审视就未免有点过于狭隘了, 那么我们可以放宽到任意一个范畴 $\mathcal{C}$, 定义二元运算 $\otimes : \mathcal{C} \times \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ 以取代 $\times$, 便可将某个对象 $M \in \Ob{\mathcal{C}}$ 视为 $\mathcal{C}$ 中的 "幺半群", 因此上述规律可被重绘为：

结合律：$\alpha_{M,M,M} : (M \otimes M) \otimes M \overto{\text{同构}} M \otimes (M \otimes M)$;
左/右幺元律：$\lambda_M : 1 \otimes M \overto{\text{同构}} M$ 以及 $\rho_M : M \otimes 1 \overto{\text{同构}} M$, 其中 $1 \in \Ob{\mathcal{C}}$ 为 $\mathcal{C}$ 中的 "幺元".

事实上 $\otimes$ 本就是一个从乘积范畴 $\mathcal{C} \times \mathcal{C}$ 到 $\mathcal{C}$ 的函子, 因此上述的 $\alpha_{M, M, M}$ 为以下自然同构的构件 ($\lambda_M$ 与 $\rho_M$ 亦类似, 同时将通配符 $(-)$ 略写为 $-$)： $$
\alpha : \bigg( (- \otimes -) \otimes - \bigg) \overto{\sim} \bigg(- \otimes (- \otimes -) \bigg)

$$ 此外, 回顾幺半群所定义的结合律 $\Forall{x,y,z \in M} (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$, 它说明了 "元组 $((x, y), z)$ 与 $(x, (y, z))$ 在被二元运算 $\cdot$ 编码后的元素 $(x \cdot y) \cdot z$ 与 $x \cdot (y \cdot z)$ 亦应相等" 这一事实, 形式化后即有： $$
\begin{array}{cc}
(M \times M) \times M & \overto{\cdot} & M \times M & \overto{\cdot} & M & \overfrom{\cdot} & M \times M & \overfrom{\cdot} & M \times (M \times M) \\
((x, y), z) & \mapsto & (x \cdot y, z) & \mapsto & (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z) & \mapsfrom & (x, y \cdot z) & \mapsfrom & (x, (y, z))
\end{array}

$$ 这样子的映射同样可推广至带有 $\otimes$ 操作的范畴 $\mathcal{C}$ 中. 综上所述, 则可自然地引出以下定义：

定义 1.2 (幺半对象)

对任意范畴 $\mathcal{C}$, 设有一组资料 $(M, \mu, \eta)$, 称其为 $\mathcal{C}$ 中的 幺半对象 (monoid object), 其中：
$M$ 为任意范畴 $\mathcal{C}$ 中的对象;
$1 \in \Ob{\mathcal{C}}$ 称为 $M$ 的 幺元 (unit object);
二元函子 $\otimes : \mathcal{C} \times \mathcal{C} \to \mathcal{C}$;
"乘法" 态射 $\mu : M \otimes M \to M$ 及 "幺元" 态射 $\eta : 1 \to M$;
同构 (自然同构 $\alpha$ 的构件) $\alpha_{M, M, M} : (M \otimes M) \otimes M \overto{\sim} M \otimes (M \otimes M)$, 称为 结合子 (associator);
同构 (自然同构 $\lambda$ 的构件) $\lambda_M : 1 \otimes M \overto{\sim} M$, 称为 左单位子 (left unitor);
同构 (自然同构 $\rho$ 的构件) $\rho_M : M \otimes 1 \overto{\sim} M$, 称为 右单位子 (right unitor);
使得以下内外图表交换： $$

\xymatrix{& (M \otimes M) \otimes M \ar@{->}[rr]^{{\alpha_{M,M,M}}} \ar@{->}[ldd]_{\mu \otimes 1_M} & & M \otimes (M \otimes M) \ar@{->}[rdd]^{1_M \otimes \mu} & \\& 1 \otimes M \ar@{->}[rdd]_{\lambda_M} \ar@{->}[r]^{\eta \otimes 1_M} & M \otimes M \ar@{->}[dd] & M \otimes 1 \ar@{->}[ldd]^{\rho_M} \ar@{->}[l]_{1_M \otimes \eta} & \\M \otimes M \ar@{->}[rrdd]_{\mu} & & & & M \otimes M \ar@{->}[lldd]^{\mu} \\& & M & & \\& & M & & }$$

然而定义上述幺半对象所要求的资料过多了, 我们可以将部分共通的性质抽象出来, 例如只要 $\mathcal{C}$ 连带运算 $\otimes$ 本身长得像个 "幺半群", 则在其中可以自然地容纳幺半对象的存在, 将这一概念推而广之, 当我们尝试将任意的代数结构 (如群, 环, 作用等) 推广为范畴论中的特殊对象 (群对象, 环对象, 作用对象等) 时, 或称为对代数结构 内部化 (internalization), 而这个过程应遵从以下的 微缩宇宙原则 (microcosm principle)：

当尝试内部化一些代数结构 $S$ 为任意范畴 $\mathcal{C}$ 中的对象时, $\mathcal{C}$ 本身应保持与 $S$ 有着相同的结构.

那么究竟怎样的范畴与幺半群的内部化兼容呢? 答案是幺半范畴, 我们在下一节将引入关于它的讨论.

2. 幺半范畴与融贯条件

我们先给出什么为之 "长得像是个幺半群的范畴", 即幺半范畴的严格定义, 再逐步剖析定义中的意义：

定义 2.1 (幺半范畴)

设有一组资料 $(\mathcal{V}, \otimes, 1, \alpha, \lambda, \rho)$ (偶尔亦简记为 $(\mathcal{V}, \otimes, 1)$), 称其为 幺半范畴 (monoidal category), 其中：
$\mathcal{V}$ 是一个范畴;
$1 \in \Ob{\mathcal{V}}$, 称为 $\mathcal{V}$ 的 幺元 (unit object);
二元函子 $\MMap{\otimes}{\mathcal{V} \times \mathcal{V}}{\mathcal{V}}{(X, Y)}{X \otimes Y}{\b{X \overto{f} X', Y \overto{g} Y'}}{\b{X \otimes Y \overto{f \otimes g} X' \otimes Y'}}$, 称为 幺半积 (monoidal product) 或 张量积 (tensor product);
自然同构 $\alpha : \bigg((- \otimes -) \otimes - \bigg) \overto{\sim} \bigg(- \otimes (- \otimes -) \bigg)$, 称为 结合子 (associator);
自然同构 $\lambda : 1 \otimes (-) \overto{\sim} (-)$, 称为 左单位子 (left unitor);
自然同构 $\rho : (-) \otimes 1 \overto{\sim} (-)$, 称为 右单位子 (right unitor);
对任意 $W, X, Y, Z \in \Ob{\mathcal{V}}$, 使以下内外图表交换 (内外侧所有态射皆为同构)： $$

\xymatrix{ & & ((W \otimes X) \otimes Y) \otimes Z \ar@{->}[lldd]_{{\large \alpha_{W,X,Y} \otimes 1_Z}} \ar@{->}[rrdd]^{{\large \alpha_{W \otimes X, Y, Z}}} & & \\ & & & & \\ (W \otimes (X \otimes Y)) \otimes Z \ar@{->}[rdd]_{{\large \alpha_{W, X \otimes Y, Z}}} & (X \otimes 1) \otimes Y \ar@{->}[rr]^{{\alpha_{X, 1, Y}}} \ar@{->}[rd]_{\rho_X \otimes 1_Y} & & X \otimes (1 \otimes Y) \ar@{->}[ld]^{1_X \otimes \lambda_Y} & (W \otimes X) \otimes (Y \otimes Z) \ar@{->}[ldd]^{{\large \alpha_{W, X, Y \otimes Z}}} \\ & & X \otimes Y & & \\ & W \otimes ((X \otimes Y) \otimes Z) \ar@{->}[rr]_{{\large 1_W \otimes \alpha_{X, Y, Z}}} & & W \otimes (X \otimes (Y \otimes Z)) & } $$ 其中分别称：
外侧的交换图为 五角恒等式 (pentagon identity);
内侧的交换图为 三角恒等式 (triangle identity) (切记不要与伴随函子的三角恒等式混淆);
将内外侧的交换图合称为幺半范畴的 融贯条件 (coherence conditions).

然而注意到上述的五角恒等式, 为何考虑的是四个对象的结合情况, 与幺半对象的定义只有三个对象不同呢？这是因为就像在幺半群中可以构造广义的结合律般, 例如考虑 $A_1, A_2, \ldots, A_n \in \Ob{\mathcal{C}}$ 时, 我们当然希望它有以下这样子的同构： $$
\alpha_{A_1, A_2, \ldots, A_n} : (((\cdots (A_1 \otimes A_2) \otimes \cdots ) \otimes A_{n-1}) \otimes A_n) \overto{\sim} A_1 \otimes (A_2 \otimes (\cdots \otimes (A_{n-1} \otimes A_n) \cdots))

$$ 例如当取 $n = 4$ 时, 于幺半群中所定义的结合律所采用的是严格的等同关系 (即等号 $=$), 因此存在唯一的恒等态射使得以下元素于幺半群中相等： $$
((w \cdot x) \cdot y) \cdot z = (w \cdot (x \cdot y)) \cdot z = \cdots = (w \cdot (x \cdot (y \cdot z)))

$$ 由等同关系这一点我们可以直接确保, 无论怎样挪动其中的括号, 它们都是等价的. 然而于幺半范畴中, 若不依赖于以上的融贯条件我们就无法保证以下自然同构是唯一的： $$
\bigg( ((- \otimes -) \otimes -) \otimes - \bigg) \overto{\sim} \bigg( - \otimes\ (- \otimes (- \otimes -)) \bigg)

$$ 因为对于 $W, X, Y,Z \in \Ob{\mathcal{V}}$ 而言下图的五角柱 (不含底与顶面的正五边形) 可交换： $$

\xymatrix{
& & (W \otimes X) \otimes (Y \otimes Z) \ar@{->}@[goldenrod][rrd]|-{{\large \color{goldenrod}{\alpha_{W, X, Y \otimes Z}}}} \ar@{-->}[ddd] & & \\
((W \otimes X) \otimes Y) \otimes Z \ar@{->}[ddd]_{((f \otimes g) \otimes h) \otimes i} \ar@{->}@[blueviolet][rd]|-{{\large \color{blueviolet}{\alpha_{W, X, Y} \otimes 1_Z}}} \ar@{->}@[goldenrod][rru]|-{{\large \color{goldenrod}{\alpha_{W \otimes X, Y, Z}}}} & & & & W \otimes (X \otimes (Y \otimes Z)) \ar@{->}[ddd]^{f \otimes (g \otimes (h \otimes i))} \\
& (W \otimes (X \otimes Y)) \otimes Z \ar@{->}@[blueviolet][rr]|-{{\large \color{blueviolet}{\alpha_{W, X \otimes Y, Z}}}} \ar@{-->}[ddd] & & W \otimes ((X \otimes Y) \otimes Z) \ar@{->}@[blueviolet][ru]|-{{\large \color{blueviolet}{1_W \otimes \alpha_{X, Y, Z}}}} \ar@{-->}[ddd] & \\
& & (W' \otimes X') \otimes (Y' \otimes Z') \ar@{->}@[goldenrod][rrd]|-{{\large \color{goldenrod}{\alpha_{W', X', Y' \otimes Z'}}}} & & \\
((W' \otimes X') \otimes Y') \otimes Z' \ar@{->}@[blueviolet][rd]|-{{\large \color{blueviolet}{\alpha_{W', X', Y'} \otimes 1_{Z'}}}} \ar@{->}@[goldenrod][rru]|-{{\large \color{goldenrod}{\alpha_{W' \otimes X', Y', Z'}}}} & & & & W' \otimes (X' \otimes (Y' \otimes Z')) \\
& (W' \otimes (X' \otimes Y')) \otimes Z' \ar@{->}@[blueviolet][rr]|-{{\large \color{blueviolet}{\alpha_{W', X' \otimes Y', Z'}}}} & & W' \otimes ((X' \otimes Y') \otimes Z') \ar@{->}@[blueviolet][ru]|-{{\large \color{blueviolet}{1_{W'} \otimes \alpha_{X', Y', Z'}}}} &
}

$$ 因此共计有两条不同的路径使得以下的自然性成立： $$
\begin{align}
f \otimes (g \otimes (h \otimes i)) \circ \textcolor{goldenrod}{\alpha_{W, X, Y \otimes Z}} \circ \textcolor{goldenrod}{\alpha_{W \otimes X, Y, Z} } & = \textcolor{goldenrod}{ \alpha_{W', X', Y' \otimes Z'}} \circ \textcolor{goldenrod}{\alpha_{W' \otimes X', Y', Z'} } \circ ((f \otimes g) \otimes h) \otimes i \\
f \otimes (g \otimes (h \otimes i)) \circ \textcolor{blueviolet}{1_W \otimes \alpha_{X, Y, Z}} \circ \textcolor{blueviolet}{\alpha_{W, X \otimes Y, Z}} \circ \textcolor{blueviolet}{\alpha_{W, X, Y} \otimes 1_Z} & = \textcolor{blueviolet}{1_{W'} \otimes \alpha_{X', Y', Z'}} \circ \textcolor{blueviolet}{\alpha_{W', X' \otimes Y', Z'}} \circ \textcolor{blueviolet}{\alpha_{W', X', Y'} \otimes 1_{Z'}} \circ ((f \otimes g) \otimes h) \otimes i
\end{align}

$$ 同样地, 当我们挪动其他的括号, 这将改变我们的自然同构, 例如： $$
\bigg( (- \otimes (- \otimes -)) \otimes - \bigg) \overto{\sim} \bigg( (- \otimes -) \otimes (- \otimes -) \bigg)

$$ 就可以得到以下五角柱 (不含底与顶面的正五边形) 可交换： $$

\xymatrix{
& & (W \otimes X) \otimes (Y \otimes Z) \ar@{->}[ddd] & & \\
((W \otimes X) \otimes Y) \otimes Z \ar@{->}@[goldenrod][rru]|-{{\large \color{goldenrod}{\alpha_{W \otimes X, Y, Z}}}} \ar@{-->}[ddd] & & & & W \otimes (X \otimes (Y \otimes Z)) \ar@{->}@[blueviolet][llu]|-{{\large \color{blueviolet}{(\alpha_{W, X, Y \otimes Z})^{-1}}}} \ar@{-->}[ddd] \\
& (W \otimes (X \otimes Y)) \otimes Z \ar@{->}@[goldenrod][lu]|-{{\large \color{goldenrod}{(\alpha_{W, X, Y} \otimes 1_Z)^{-1}}}} \ar@{->}@[blueviolet][rr]|-{{\large \color{blueviolet}{\alpha_{W, X \otimes Y, Z}}}} \ar@{->}[ddd] & & W \otimes ((X \otimes Y) \otimes Z) \ar@{->}@[blueviolet][ru]|-{{\large \color{blueviolet}{1_W \otimes \alpha_{X, Y, Z}}}} \ar@{-->}[ddd] & \\
& & (W' \otimes X') \otimes (Y' \otimes Z') & & \\
((W' \otimes X') \otimes Y') \otimes Z' \ar@{->}@[goldenrod][rru]|-{{\large \color{goldenrod}{\alpha_{W' \otimes X', Y', Z'}}}} & & & & W' \otimes (X' \otimes (Y' \otimes Z')) \ar@{->}@[blueviolet][llu]|-{{\large \color{blueviolet}{(\alpha_{W', X', Y' \otimes Z'})^{-1}}}} \\
& (W' \otimes (X' \otimes Y')) \otimes Z' \ar@{->}@[goldenrod][lu]|-{{\large \color{goldenrod}{(\alpha_{W', X', Y'} \otimes 1_{Z'})^{-1}}}} \ar@{->}@[blueviolet][rr]|-{{\large \color{blueviolet}{\alpha_{W', X' \otimes Y', Z'}}}} & & W' \otimes ((X' \otimes Y') \otimes Z') \ar@{->}@[blueviolet][ru]|-{{\large \color{blueviolet}{1_{W'} \otimes \alpha_{X', Y', Z'}}}} &
}

$$ 图中所有横向的边都是同构 (可逆), 因此同样可得到两条各异的路径, 显然只要我们令底面与顶面可交换, 则可确认下来这些自然同构都是唯一的. 另一方面, 由 $4$ 个对象所刻画的五角恒等式可谓是最小的, 可使得上述这些自然同构 (同构之间的对象括号数大于或等于 $2$) 保持唯一一条路径的交换图.

再者, 三角恒等式 $\vcenter{\xymatrix{
(X \otimes 1) \otimes Y \ar@{->}[rr]^{{\alpha_{X, 1, Y}}} \ar@{->}[rd]_{\rho_X \otimes 1_Y} & & X \otimes (1 \otimes Y) \ar@{->}[ld]^{1_X \otimes \lambda_Y} \\
& X \otimes Y &
}}$ 的作用与上述的五角恒等式类似, 也是为了保证当幺元 $1$ 参与到结合律运算时, 总能得到唯一的自然同构, 例如： $$
(X \otimes (Y \otimes 1)) \otimes (Z \otimes 1) \overto{\sim} (X \otimes Y) \otimes Z \overto{\sim} (X \otimes (Y \otimes Z)) \otimes (1 \otimes 1)

$$

3. 幺半范畴与幺半对象的例子

在完成幺半范畴与幺半对象定义的铺垫后, 现在我们可以先来找些例子充实对这些概念的认知.

例子 3.1 (线性空间的张量积)

考虑域 $\mathbb{K}$ 上的有限维线性空间范畴 $\FinVect_\mathbb{K}$ 与其中一系列线性空间的直和, 分别设为： $$
U = \bigoplus_{k = 1}^m U_k, \qquad V = \bigoplus_{j = 1}^n V_j, \qquad W = \bigoplus_{i = 1}^p W_i

$$ 以及它们之间的线性映射 $U \overto{A} V \overto{B} W$, 则 $A, B$ 分别可被视为以下这样子的 $n \times m$ 与 $p \times n$ 矩阵： $$
A \coloneqq \pmatrix{ A^1_1 & A^1_2 & \cdots & A^1_m \\ A^2_1 & A^2_2 & \cdots & A^2_m \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A^n_1 & A^n_2 & \cdots & A^n_m }, \qquad
B \coloneqq \pmatrix{ B^1_1 & B^1_2 & \cdots & B^1_n \\ B^2_1 & B^2_2 & \cdots & B^2_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ B^p_1 & B^p_2 & \cdots & B^p_n }

$$ 且由于 $\FinVect_\mathbb{K}$ 中的积与余积是重叠的, 即上述的直和皆为 双积 (biproduct), 因此该矩阵中第 $j$ 行第 $k$ 列的元素 $A^j_k$ 可被定义为 ($B^i_j$ 亦类似)： $$
\begin{align}
A^j_k & \coloneqq \bb{ U_k \overto{\iota_k} U \overto{A} V \overto{\pi_j} V_j } = \cases{ 1_{U_k} & \text{若 $j = k$} \\ 0_{kj} & \text{若 $j \neq k$} } \\
B^i_j & \coloneqq \bb{ V_j \overto{\iota_j} V \overto{B} W \overto{\pi_i} W_i } = \cases{ 1_{V_j} & \text{若 $i = j$} \\ 0_{ji} & \text{若 $i \neq j$} }
\end{align}

$$ 那么矩阵乘法则被定义为 $\Map{\cdot}{ \hom{U}{V} \times \hom{V}{W} }{ \hom{U}{W} }{(A, B)}{A \cdot B \coloneqq B \circ A}$, 即直和之间的线性映射合成, 而其中的元素则为： $$
\begin{align}
(A \cdot B)^i_k = \bb{ U_k \overto{\iota_k} U \overto{B \circ A} W \overto{\pi_i} W_i }
\end{align}

$$ 在这个角度之下, 矩阵乘法 $A \cdot B$ 事实上构成了 双线性映射 (bilinear maps), 即是说同时满足了：

对任意 $\displaystyle B \in \hom{V}{W}$, 映射 $\Map{\varphi}{ \hom{U}{V} }{ \hom{U}{W} }{A}{A \cdot B}$ 是线性的, 即是说它又分别满足：
- 保线性：$\Forall{\lambda \in \mathbb{K}} \Forall{A \in \hom{U}{V}} \varphi(\lambda A) = \lambda \varphi(A)$, 展开后有 $\lambda A \cdot B = \lambda(A \cdot B)$;
- 同态性：$\Forall{A_1, A_2 \in \hom{U}{V}} \varphi(A_1 + A_2) = \varphi(A_1) + \varphi(A_2)$, 展开后有 $(A_1 + A_2) \cdot B = A_1 \cdot B + A_2 \cdot B$.
对任意 $\displaystyle A \in \hom{U}{V}$, 映射 $\Map{\psi}{ \hom{V}{W} }{ \hom{U}{W} }{B}{A \cdot B}$ 是线性的, 即是说它又分别满足：
- 保线性：$\Forall{\lambda \in \mathbb{K}} \Forall{B \in \hom{V}{W}} \psi(\lambda B) = \lambda \psi(B)$, 展开后有 $A \cdot \lambda B = \lambda(A \cdot B)$;
- 同态性：$\Forall{B_1, B_2 \in \hom{V}{W}} \psi(B_1 + B_2) = \psi(B_1) + \psi(B_2)$, 展开后有 $A \cdot (B_1 + B_2) = A \cdot B_1 + A \cdot B_2$.

不要忘记所有的 $\mathbb{K}$-线性映射依然为 $\mathbb{K}$-线性空间, 因此上述的矩阵加法 (线性映射之间的加法) 可随意使用.

那么现在我们可以得到以下这些范畴论上的信息：

$\FinVect_\mathbb{K}$ 连同 $\otimes$ 构成了幺半范畴 $(\FinVect_\mathbb{K}, \otimes, 1)$, 并且它的幺元 $1$ 由恒同线性映射给出;
由于 $\FinVect_\mathbb{K}$ 中的态射都是 $\mathbb{K}$-线性映射, 而它又是 $\mathbb{K}$-线性空间, 推而广之的说, 这里本来该是 $\text{Hom}$-集 的结构, 即是说： $$
\Forall{X, Y \in \Ob{\mathcal{V}} \\ \text{$\mathcal{V}$ 为幺半范畴} } \Hom{\mathcal{V}}{X}{Y} \in \Ob{\Sets}

$$ 但现在被替换为了某个范畴 $\mathcal{K}$ 中的 $\text{Hom}$-对象, 即 $\Hom{\mathcal{V}}{X}{Y} \in \Ob{\mathcal{K}}$, 我们就称这样子的幺半范畴为：
- $\mathcal{K}$-丰化幺半范畴 ($\mathcal{K}$-enriched monoidal category), 又简称为 $\mathcal{K}$-丰化范畴; 或
- $\mathcal{K}$ 上的丰化幺半范畴 $\mathcal{V}$ (enriched monoidal category $\mathcal{V}$ over $\mathcal{K}$), 又简称为 $\mathcal{K}$ 上的范畴 $\mathcal{V}$.
显然幺半范畴 $\FinVect_\mathbb{K}$ 就是一个 $\FinVect_\mathbb{K}$ (或于自身之) 上的范畴.

现在回到正题, 注意到双线性映射在处理某些问题上是较为复杂的, 因为它的定义本身就不是个简单的线性映射了, 那么有没有一种可能, 将双线性映射简化为线性映射呢? 我们可以考虑在 $\FinVect_\mathbb{K}$ 中定义张量积 $\otimes$ 的泛性质, 即是说对任意一个双线性映射 $A \times B \to C$ 及一个双线性映射 $A \times B \to A \otimes B$, 总是存在唯一的线性映射 $A \otimes B \to C$ 使得下图可交换： $$
\xymatrix{
A \times B \ar@{->}[rr]^{\text{(泛) 双线性映射}} \ar@{->}[rrd]_{\text{双线性映射}} & & A \otimes B \ar@{-->}[d]^{\text{$\exists !$ 线性映射}} \\
& & C
}

$$ 意思就是说, 将双线性映射 $A \times B \to C$ 唯一地拓展为线性映射 $A \otimes B \to C$, 因此对任意矩阵的乘法 $(-) \cdot (-)$ (双线性映射) 就应当使得以下图表可交换： $$

\xymatrix{
\text{Hom}(U, V) \times \text{Hom}(V, W) \ar@{->}[rr]^{u} \ar@{->}[rrd]_{(-) \cdot (-)} & & \text{Hom}(U, V) \otimes \text{Hom}(V, W) \ar@{-->}[d]^{\exists ! \widehat{(-) \cdot (-)}} \\
& & \text{Hom}(U, W)
}

$$

而构造它的过程与即将引入的下一个例子是类似的, 我们将在下方详细叙述.

例子 3.2 (阿贝尔群的张量积)

由例子 3.1 我们可将双线性映射的推广至 $\Ab$, 那么对任意的 $A, B, C \in \Ob{\Ab}$, 称阿贝尔群中基础集之间的映射 $\varphi : A \times B \to C$ 为 双同态 (bi-homomorphism), 当 $\varphi$ 同时满足了： $$
\begin{align}
\Forall{a_1, a_2 \in A} \Forall{b \in B} \varphi(a_1 + a_2, b) & = \varphi(a_1, b) + \varphi(a_2, b) \\
\Forall{a \in A} \Forall{b_1, b_2 \in B} \varphi(a, b_1 + b_2) & = \varphi(a, b_1) + \varphi(a, b_2)
\end{align}

$$ 由于 $\varphi$ 并非群同态, 我们当然希望存在张量积 $A \otimes B$ 的泛性质, 即有交换图 $\vcenter{\xymatrix{
A \times B \ar@{->}[rr]^{\text{(泛) 双同态}} \ar@{->}[rrd]_{\text{双同态}} & & A \otimes B \ar@{-->}[d]^{\text{$\exists !$ 群同态}} \\
& & C
}}$ 使得将 $\varphi$ 唯一地拓展至群同态 $\widehat{\varphi} : A \otimes B \to C$, 然而从 $A \times B$ 构造出 $A \otimes B$ 的步骤是值得商榷的, 而由直积 $A \times B$ 所生成的自由阿贝尔群： $$
F_\Ab(A \times B) = \Set{ \sum_{(a, b) \in A \times B} k_{(a, b)}(a, b) : k_{(a, b)} \in \Z \text{ 且仅有限多个 $k_{(a, b)} \neq 0$} } \simeq \bigoplus_{(a, b) \in A \times B} \Z

$$ 它满足了泛性质, 使得图表 $\vcenter{\xymatrix{
A \times B \ar@{->}[r]^u \ar@{->}[rd]_\varphi & F_\Ab(A \times B) \ar@{-->}[d]^{\exists ! \widehat{\varphi}} \\
& C
}}$ 可交换, 那么就提供了定义张量积的可能性, 但我们没法将 $F_\Ab(A \times B)$ 直接作为 $A \otimes B$ 的定义, 因为这里所希望的 $u$ 也应是个双同态, 而自由阿贝尔群本身是不自带这个条件的, 转而考虑商掉由以下元素所生成的 (加法) 子群： $$
R(A, B) \coloneqq \Bigg{\langle} \begin{align}
\varphi(a_1 + a_2, b) & - \varphi(a_1, b) - \varphi(a_2, b), \\
\varphi(a, b_1 + b_2) & - \varphi(a, b_1) - \varphi(a, b_2)
\end{align} \Bigg{\rangle} \quad \large \Forall{a, a_1, a_2 \in A \\ b, b_1, b_2 \in B}

$$ 因此我们就可以定义 $\Ab$ 的张量积为 $A \otimes B \coloneqq F_\Ab(A \times B)/R(A, B)$. 另一方面, 由于该商群中的陪集恰好为 $F_\Ab(A \times B)$ 中元素的等价类, 而对任意只有一个项的这些元素 $[(a, b)] \in A \otimes B$, 我们简记为 $a \otimes b$, 那么 $A \otimes B$ 中的元素就形如： $$
\underbrace{\bb{ \sum_{(a, b) \in A \times B} k_{(a, b)}(a, b) }}_\text{等价类} = \sum_{[(a, b)] \in S_{A, B}} k_{[(a, b)]}[(a, b)] = \sum_{a \otimes b \in S_{A, B}} k_{a \otimes b}(a \otimes b)

$$ 从这个角度观察, 可见 $A \otimes B$ 实际上也是由集合 $S_{A, B} \coloneqq \set{ a \otimes b : a \in A, b \in B } \sub A \otimes B$ 所生成的自由阿贝尔群, 即是说有同构 $A \otimes B \simeq F_\Ab(S_{A, B})$. 此外, 我们知道 $\Z$ 恰好就是 $\Ab$ 中的幺元, 即是说 $\Z \otimes A \to A$ 与 $A \otimes \Z \to A$ 皆应为同构, 我们只证后者的情形.

由于 $A \otimes \Z \simeq F_\Ab(S_{A, \Z})$, 而由 $F_\Ab(S_{A, \Z})$ 的泛性质可知, 对任意的嵌入映射 $f : F_\Ab(S_{A, \Z}) \to A$ 以及 $u : S_{A, \Z} \to F_\Ab(S_{A, \Z})$, 就必定可以拓展为唯一的同态 $\rho_A : A \otimes \Z \to A$ 使得以下图表交换： $$
\vcenter{\xymatrix{
S_{A, \Z} \ar@{->}[r]^u \ar@{->}[rd]_f & F_\Ab(S_{A, \Z}) \ar@{-->}[d]^{\exists ! \rho_A} \\
& A
}}

$$ 其中的 $f$ 我们定义为 $\Map{f}{S_{A, \Z}}{A}{a \otimes n}{n \cdot a}$, 其中 $n \cdot a = \underbrace{a + a + \cdots + a}_{\text{$n$ 次}}$, 另一方面由于 $S_{A,\Z} \sub F_\Ab(S_{A,\Z})$ 并且： $$
a \otimes n = a \otimes (\underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{\text{$n$ 次}}) \overset{\text{$F_\Ab(S_{A, \Z})$ 保有商掉的双同态}}{=} \underbrace{(a \otimes 1) + (a \otimes 1) + \cdots + (a \otimes 1)}_{\text{$n$ 次}}

$$ 便得到 $\Map{u}{S_{A, \Z}}{F_\Ab(S_{A,\Z})}{a \otimes n}{n \cdot (a \otimes 1)}$, 最终就建立起双射 $\Map{\rho_A}{F_\Ab(S_{A,\Z})}{A}{n \cdot (a \otimes 1)}{n \cdot a}$, 而群的同态性也是显然的, 因此得到 $A \otimes \Z \simeq F_\Ab(S_{A,\Z}) \simeq A$.

综上所述, $(\Ab, \otimes, \Z)$ 就构成了幺半范畴, 且该范畴还额外带有 辩结构 (braiding), 即是说当有以下同构 (或自然同构 $\beta : (-_1 \otimes -_2) \overto{\sim} (-_2 \otimes -_1)$ 的构件)： $$
\beta_{X, Y} : X \otimes Y \overto{\sim} Y \otimes X

$$ 使得满足了条件 $\beta_{Y, X} \circ \beta_{X, Y} = 1_{X \otimes Y}$, 而在 $(\Ab, \otimes, \Z)$ 中我们定义这样子的同构为 $\Map{\beta_{A, B}}{A \otimes B}{B \otimes A}{a \otimes b}{b \otimes a}$, 易见 $\beta_{-, -}^2 = 1_{A \otimes B}$ 因此又称 $(\Ab, \otimes, \Z)$ 为 对称幺半范畴 (symmetric monoidal category).

例子 3.3 ($R\Mod$ 范畴与 $R$-模的张量积)

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例子 3.4 (环与单位结合代数)

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4. 参考链接

本文参考了以下链接中的内容：