数学分析 1 - 数列, 级数的极限与判别方式

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1.1. 极限与级数

注释

本笔记参照清华大学于品教授的 数学分析之课程讲义 撰写并整理, 且会将一些已然掌握之处或书上已给出的详尽证明从略带过.

注释 (数列和点列)

我们将一列数 $x_1,x_2,\cdots ,x_m,\cdots$ 一字排开, 我们称其为 数列 (series), 用 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 表示, 而实际上这一列数为映射 $\begin{array}{rl}{\mathbb{Z}}_{\ge 1}& \stackrel{x_{(-)}}{\to }\mathbb{R}\\ k& \stackrel{\phantom{x_{(-)}}}{\mapsto }{x}_k\end{array}$.

另一方面, 如若给定列恰当的度量空间 $(X,d)$ 及映射 $\begin{array}{rl}{\mathbb{Z}}_{\ge 1}& \stackrel{x_{(-)}}{\to }X\\ k& \stackrel{\phantom{x_{(-)}}}{\mapsto }{x}_k\end{array}$, 则称上述的 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 为度量空间 $X$ 中的一个 点列 (series).

注释 (有界数列)

设 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 为任意数列：

• 若 $\underset{\begin{array}{c}M\in \mathbb{R}\end{array}}{\mathrm{\exists }}\underset{\begin{array}{c}n\in {\mathbb{N}}^{\times }\end{array}}{\mathrm{\forall }}{x}_n\le M$, 则称 $M$ 为 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 的 上界 (upper bound), 最小的上界称为 上确界 (supremum), 记为 ${\displaystyle \underset{n\ge 1}{sup}{x}_n}$;
• 若 $\underset{\begin{array}{c}m\in \mathbb{R}\end{array}}{\mathrm{\exists }}\underset{\begin{array}{c}n\in {\mathbb{N}}^{\times }\end{array}}{\mathrm{\forall }}m\le x_n$, 则称 $m$ 为 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 的 下界 (upper bound), 最大的下界称为下确界 (infimum), 记为 ${\displaystyle \underset{n\ge 1}{inf}{x}_n}$;
• 若 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 既有上界又有下界, 则可等价地表述为 $\underset{\begin{array}{c}M>0\end{array}}{\mathrm{\exists }}\underset{\begin{array}{c}n\in {\mathbb{N}}^{\times }\end{array}}{\mathrm{\forall }}|x_n|\le M$, 并简称该数列是 有界的 (bounded).
• 若 $\underset{\begin{array}{c}M>0\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}n\in {\mathbb{N}}^{\times }\end{array}}{\mathrm{\exists }}|x_n|>M$, 则称 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 是 无界的 (unbounded).

点列亦是类似的, 只需将 $|\cdot |$ 替换为合适的度量 $d$ 即可.

定义 1.1.1 (数列的极限, 收敛与发散)

设 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 为实数列：

1. 若 $\underset{\begin{array}{c}ϵ>0\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}N\in {\mathbb{N}}^{\times }\end{array}}{\mathrm{\exists }}\underset{\begin{array}{c}n\ge N\end{array}}{\mathrm{\forall }}|x_n-x|<ϵ$, 则称 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 存在极限 (limit exists) 且 $x$ 为 $\{x_n\}$ 的 极限 (limit of a sequence) 或 $\{x_n\}$ 收敛 (convergent) 到 $x$, 并记作 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x}$;
2. 若 $\underset{\begin{array}{c}M>0\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}N\in {\mathbb{N}}^{\times }\end{array}}{\mathrm{\exists }}\underset{\begin{array}{c}n\ge N\end{array}}{\mathrm{\forall }}{x}_n\ge M$, 则称 $x_n$ 收敛到正无穷;
3. 若 $\underset{\begin{array}{c}M>0\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}N\in {\mathbb{N}}^{\times }\end{array}}{\mathrm{\exists }}\underset{\begin{array}{c}n\ge N\end{array}}{\mathrm{\forall }}{x}_n\le -M$, 则称 $x_n$ 收敛到负无穷;
4. 若上述 $(2)$ 或 $(3)$ 其中之一成立, 我们就称 $x_n$ 是 发散的 (divergence).

注释

• 同样地, 对于度量空间 $(X,d)$, 我们称点列于其中有极限只须将上述条件中的 $|x_n-x|<ϵ$ 换为 $d(x_n,x)<ϵ$ 即可, 记号完全相同.

• 我们直观上总要认为 $ϵ$ 是非常小的数, 而 $N$ 是非常大的数.

• 上述的 $N$ 是在 $ϵ$ 选定后再作选择的, 他通常依赖于 $ϵ$ 的大小, 所以对于 $N$ 我们在一些时候会写成 $N=N(ϵ)$ 表示这种依赖性.

• 若一个数列的极限不为 $x$ (可能是收敛/不收敛的), 那么则可用以下逻辑表述： $$\mathrm{\neg }(\underset{\begin{array}{c}ϵ>0\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}N\in {\mathbb{N}}^{\times }\end{array}}{\mathrm{\exists }}\underset{\begin{array}{c}n\ge N\end{array}}{\mathrm{\forall }}|x_n-x|<ϵ)⟺(\underset{\begin{array}{c}ϵ>0\end{array}}{\mathrm{\exists }}\underset{\begin{array}{c}N\in {\mathbb{N}}^{\times }\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}n\ge N\end{array}}{\mathrm{\exists }}|x_n-x|\ge ϵ).$$

• 我们经常非正式地称 "当存在 $N\in {\mathbb{N}}^{\times }$ 使得 $n>N$ 时有 ..." 这句话为 "当 $n$ 充分大时有 ...", 这是数学分析中公认的 "黑话" 之一.

例子 1.1.2 (利用定义证明极限收敛的初步例子)

• 若 $x_n=x$, 则 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x}$.

  我们按定义来证明, 即对任意的 $ϵ>0$, 应找到 $N\in {\mathbb{N}}^{\times }$ 使得当 $n\ge N$ 时有 $|x_n-x|=0<ϵ$, 显然从第一项起 $x_n$ 与 $x$ 的距离为 $0$, 我们只需取 $N=1$ 即可使后续条件成立.

• ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0}$.

  同样按照定义证明, 对任意 $ϵ>0$, 只需选取 ${\displaystyle N=\lfloor \frac{1}{ϵ}\rfloor +1}$, 那么当 $n\ge N$ 时则以下不等式成立： $$|x_n-0|=\left|\frac{1}{n}\right|=\frac{1}{n}<ϵ$$

• ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{{\lambda }^n}=0}$, 其中 $\lambda >1$.

  为了方便我们对上述项进行不等式放缩, 首先阐述一个技术事实, 对任意 $\delta >0$ 我们假设 $\lambda =1+\delta$, 那么根据二项式展开就有： $${\lambda }^n=(1+\delta {)}^n=1+n\delta +\cdots \ge 1+n\delta .$$ 因此根据 Archimedes 原理, 对任意一个数 $M$, 总能选定 $n$ 使得 ${\lambda }^n>M$.

  接下来便可按照定义证明, 假设对任意 $ϵ>0$, 我们对不等式逐步放缩： $$|x_n-0|=\frac{1}{{\lambda }^n}\stackrel{\text{Archimedes 原理}}{<}\frac{1}{{\lambda }^N}<\frac{1}{N\delta }<ϵ$$ 显然 ${\displaystyle N>\frac{1}{ϵ\delta }}$, 我们只需挑选 ${\displaystyle N=\lfloor \frac{1}{ϵ\delta }\rfloor +1}$ 即可令上述不等式成立.

例子 1.1.4 (既没有极限亦不发散的例子)

一个数列是可以既没有极限亦不发散 (到无穷) 的, 比如说 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$, 其中 $x_n=(-1{)}^{n-1}$.

证明

我们分别证明以下事实：

• ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 没有极限：

  透过反证法, 我们假设它的极限为 $x$, 根据定义我们取一个非常小的数, 例如给定 $ϵ=0.1$, 就会存在 $N\in {\mathbb{N}}^{\times }$ 使得当 $n>N$ 时 $|x_n-x|<0.1$ 成立, 然而我们知道 $x_n$ 中任意两项之差恒为 $2$, 那么对于后续的无穷多项亦然, 那么： $$2=|x_{N+1}-x_N|=|(x_{N+1}-x)+(x-x_N)|\stackrel{\text{三角不等式}}{\le }|x_{N+1}-x|+|x-x_N|<0.1+0.1=0.2$$ 便产生了矛盾, 因此该数列不存在极限.

• ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 不发散：

  显然, 该数列只会于 $-1$ 与 $1$ 不断横跳, 因此其不可能发散至正/负无穷.

注释 (无穷级数)

• 有了极限, 我们就可以定义无限个数求和这一概念, 我们称之为 无穷级数 (infinite series), 一般简称为 级数 (series). 这是极限最重要的第一个应用, 因为几乎所有有意义的数和函数都是透过级数的方式构造而来的.
• 另一方面则又可仿照数列极限的定义研究关于级数极限为 $+\mathrm{\infty }$ 或 $-\mathrm{\infty }$ 的情形.

现在让我们给出关于级数的精确定义.

定义 1.1.5 (级数的极限, 收敛与发散)

设 $a_1,a_2,a_3,\cdots$ 为一无穷实数列, 令 ${\displaystyle x_n=\sum _{i=1}^n{a}_i}$：

1. 若 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 有极限, 则称级数 $a_1+a_2+a_3+\cdots$ 收敛 且将其 极限 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n}$ 记作 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i}$;
2. 若 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 是发散的, 则称级数 $a_1+a_2+a_3+\cdots$ 发散, 按照数列极限的定义我们当然可定义 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i=+\mathrm{\infty }}$ 或 ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i=-\mathrm{\infty }}$ 并分别称该级数是收敛到正/负无穷的.

注释 (度量空间中的情况)

• 在度量空间 $(X,d)$ 中, 我们有收敛的概念, 但一般却不存在级数的概念, 原因是对于点列 ${\{a_k\}}_{k\ge 1}$, 由于不存在加法运算 $+:X\times X\to X$, 因此求和 $a_1+a_2+\cdots +x_n$ 无法被定义.
• 此外, 若度量空间 $X$ 同时为线性空间, 那么则可定义上述的级数, 比如取 $X=\mathbb{C}$, 便可以定义复数的级数.

例子 1.1.6 (调和级数)

设 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 为实数列, 定义部分和为： $$x_n:=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n},n\in {\mathbb{N}}^{\times }$$

那么我们称无穷级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}}$ 为 调和级数 (harmonic series), 它是发散级数的经典例子.

证明

若 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}}$ 发散, 则只需证明其中的第 $n$ 项 $x_n$ 是发散的, 考虑设 $n=2^{2k}$, 其中 $k\in {\mathbb{N}}^{\times }$： $$\begin{array}{rl}{x}_n& =1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})+\cdots +\underset{2k-1\text{ 项}}{\underbrace{(\frac{1}{2^{2k-1}+1}+\cdots +\frac{1}{2^{2k}})}}\\ & \ge 1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2})+(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^3})+\cdots +(\frac{1}{2^{2k}}+\cdots +\frac{1}{2^{2k}})\\ & >\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{4}+4\cdot \frac{1}{8}+\cdots +(2k-1)\cdot \frac{1}{2^{2k}}\\ & =\underset{2k\text{ 项}}{\underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{2}}}=2k\cdot \frac{1}{2}=k\end{array}$$ 因此按照定义, 对任一很大的数 $M>0$, 我们总能取定 $N=2^{2k}-1$ 使得当 $n\ge N$ 时有 $x_n>k$ 成立.

命题 1.1.7 (点列的一些基本性质)

给定度量空间 $(X,d)$ 及 $X$ 中的点列 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$, 则有：

1. 极限的 唯一性：若 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x}$ 且 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=y}$, 则 $x=y$.
2. 改变数列中有穷项不改变其的极限：设有另一点列 ${\{y_n\}}_{n\ge 1}$ 并且当 $n$ 充分大时 $x_n=y_n$ 则 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n}$ 成立.
3. 收敛的子列仍收敛于同一极限：若点列 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 是收敛的, 则其子列 ${\{x_{n_k}\}}_{k\ge 1}$ 的极限为 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{n_k}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n}$.
4. 若 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 为收敛的实数列, 则其亦是 有界的. (度量空间中的亦可定义有界性)

证明

这里的证明皆较为简单, 具体的证明可参阅讲义, 因此我们略过.

注释

• 假设 $1\le n_1<n_2<\cdots <n_k<\cdots$ 为一列上升指标, 且对于 $k\ge 1$ 我们设 $y_k=x_{n_k}$, 则称 ${\{y_k\}}_{k\ge 1}$ 为 $\{x_n\}$ 的 子列 (subsequence), 子列亦经常记作 ${\{x_{n_k}\}}_{k\ge 1}$.
• 注意到 $(4)$ 的逆命题并不正确, 例如 $x_n=(-1{)}^n$ 所给出的数列正是很直观的反例. 然而我们后续还将证明 若一个数列是有界的, 则其必定包含着收敛子列.

命题 1.1.8 (极限的四则运算与序关系的交换性)

设 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 及 ${\{y_n\}}_{n\ge 1}$ 为实数列, 则：

1. 数列 ${\{x_n\pm y_n\}}_{n\ge 1}$ 收敛且 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(x_n\pm y_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n\pm \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n}$;
2. 数列 ${\{x_n\cdot y_n\}}_{n\ge 1}$ 收敛且 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(x_n\cdot y_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n}$;
3. 对任意 $\lambda \in \mathbb{R}$, 数列 $\{\lambda \cdot x_n\}$ 收敛且 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\lambda \cdot x_n)=\lambda \cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n}$;
4. 若 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n\ne 0}$, 则数列 ${\displaystyle {\left\{\frac{x_n}{y_n}\right\}}_{n\ge n}}$ 收敛且 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x_n}{y_n}=\frac{{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n}}{{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n}}}$;
5. 若 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 及 ${\{y_n\}}_{n\ge 1}$ 皆收敛且对充分大的 $n$ 有 $x_n\le y_n$, 则 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n}$ 成立 (将 $\le$ 换为 $\ge$ 亦成立).

证明

同样的, 我们略过.

注释

• 命题 $(4)$ 中的条件 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n\ne 0}$ 意味着 "当 $n$ 足够大时, $y_n\ne 0$".

• 命题 $(5)$ 所阐述的是 $lim$ 与 $\le$ 可交换. 另一方面, 如若将上述命题替换为 "若对充分大的 $n$ 有 $x_n<y_n$, 则 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n<\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n}$ " 却是不成立的. 例如设 $x_n=\frac{1}{n^2}$ 而 $y_n=\frac{1}{n}$, 当 $n$ 充分大时, 由于 $n^2$ 的增长速率远大于 $n$, 因此 $\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n}$, 但他们的极限皆为 $0$.

• 命题 1.1.8 提供了关于数列极限至关重要的可计算性, 例如我们希望得知 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^2+3n+2}{n^2+1}}$ 的极限值, 只需按以下步骤计算： $$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^2+3n+2}{n^2+1}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\displaystyle 1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}}}{{\displaystyle 1+\frac{1}{n^2}}}=\frac{{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2})}}{{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n^2})}}\\ & =\frac{{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}1+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2}{n^2}}}{{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}1+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^2}}}=\frac{1+0+0}{1+0}=1\end{array}$$

1.2. 数列与级数收敛性的判别方式

注释 (单调有界定理的引入)

直观上如果一个数列 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 的项随着指标而不断递增 (或递减), 并且它有一个明确的上确界 (或下确界), 显然 $\{x_n\}$ 就应收敛于这个界上, 该定理被称作 单调有界定理 (monotone convergence theorem). 为此我们需明确定义何为递增/递减的数列.

定义 1.2.1 (递增/减数列)

设 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 为实数列：

1. 若 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 满足 $x_1\le x_2\le x_3\le \cdots$, 则称之为 单调递增数列. (若将 $\le$ 替换为 $<$ 则称其是 严格的)
2. 若 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 满足 $x_1\ge x_2\ge x_3\ge \cdots$, 则称之为 单调递减数列. (若将 $\ge$ 替换为 $>$ 则称其是 严格的)

定理 1.2.2 (单调有界定理)

若单调递增的实数列 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 是有界的, 则 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 收敛且 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\underset{n\ge 1}{sup}{x}_n}$. (单调递减亦类似)

证明

根据确界原理, 我们知道实数中的有界数列必有上确界, 令 ${\displaystyle s=\underset{n\ge 1}{sup}{x}_n}$, 需证明 $\underset{\begin{array}{c}ϵ>0\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}N\in {\mathbb{N}}^{\times }\end{array}}{\mathrm{\exists }}\underset{\begin{array}{c}n\ge N\end{array}}{\mathrm{\forall }}|x_n-s|<ϵ$.

我们知道描述上确界有另一种方式, 对任意一个非常小的 $ϵ>0$, 存在 $x_{n_0}$, 使得有 $s-ϵ<x_{n_0}$.

另一方面, 由于数列单调递增, 我们有 $x_{n_0}\le x_{n_0+1}\le x_{n_0+2}\le \cdots$, 并且结合上述不等式则有： $$s-ϵ<x_{n_0}\le x_{n_0+1}\le x_{n_0+2}\le \cdots \stackrel{s\text{ 是 }{\{x_n\}}_{n\ge 1}\text{ 的上确界}}{\le }s<s+ϵ$$ 这告诉我们只要取 $N=n_0$, 那么当 $n\ge N$ 时 $|x_n-s|<ϵ$ 必然成立.

例子 1.2.3 (${\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}}$ 的收敛性)

作为 定理 1.2.2 的应用, 我们现在证明级数 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots }$ 是收敛的.

证明

我们定义部分和为 $x_n:={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}}$, 数列 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 显然是单调递增的, 因此只需证明其的有界性： $$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}& =\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots +\frac{1}{(n-1{)}^2}+\frac{1}{n^2}\\ & \le 1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{1}{(n-2)(n-1)}+\frac{1}{(n-1)n}\\ & =1+(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots +(\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1})+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})\\ & =2-\frac{1}{n}<2.\end{array}$$

注释 (级数的运算性质)

我们对先前的内容作一些适当的补充. 类似于 命题 1.1.8 的 $(1)$ 与 $(3)$, 我们同样可定义关于收敛级数的加减法及线性性质, 我们下设实数项 ($\mathbb{C}$ 或 ${\mathbb{R}}^n$ 亦成立) 的级数 ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k}$ 及 ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k}$ 收敛, 则有：

1. 级数 ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(a_k\pm b_k)}$ 收敛且 ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(a_k\pm b_k)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k\pm \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k}$;
2. 对任意 $\lambda \in \mathbb{R}$, 级数 ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\lambda \cdot a_k)}$ 收敛且 ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\lambda \cdot a_k)=\lambda \cdot \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k}$.

证明它们是容易的, 只需直接应用极限的计算性质即可.

注释 (不同空间上的度量的概念)

• 对于度量空间 $(X,d)$, 我们按以下方式定义度量空间的通常度量：

  1. 若取 $X={\mathbb{R}}^n$, 定义 $d(x,y):={\displaystyle \sqrt{\sum _{k=1}^n(x_k-y_k{)}^2}}$, 其中 $x=(x_1,\cdots ,x_n)$ 及 $y=(y_1,\cdots ,y_n)$;
  2. 若取 $X=\mathbb{C}$, 定义 $d(z_1,z_2):=|z_1-z_2|$, 其中 $|\cdot |$ 表示取复数的模长.

• 假设 $d_1,d_2$ 皆为集合 $X$ 上的度量, 当满足： $$\underset{\begin{array}{c}{C}_1>0\\ C_2>0\end{array}}{\mathrm{\exists }}\underset{\begin{array}{c}x,y\in X\end{array}}{\mathrm{\forall }}(d_2(x,y)\le C_1{d}_1(x,y)\mathrm{及}{d}_1(x,y)\le C_2{d}_2(x,y))$$ 则称 $d_1$ 与 $d_2$ 是 等价的, 上述叙述亦等价于： $$\underset{\begin{array}{c}c>0\\ C>0\end{array}}{\mathrm{\exists }}\underset{\begin{array}{c}x,y\in X\end{array}}{\mathrm{\forall }}c{d}_1(x,y)\le d_2(x,y)\le C{d}_1(x,y)$$ 比如说, 在 ${\mathbb{R}}^n$ 中可分别定义三种度量： $$\begin{array}{rl}{d}_1(x,y)& :=\sum _{k=1}^n|x_k-y_k|\\ d_2(x,y)& :=\sqrt{\sum _{k=1}^n(x_k-y_k{)}^2}\\ d_{\mathrm{\infty }}(x,y)& :=\underset{i=1,2,\cdots ,n}{sup}|x_i-y_i|\end{array}$$ 而它们事实上都是等价的, 因为： $$n{d}_{\mathrm{\infty }}(x,y)\ge d_1(x,y)\ge d_2(x,y)\ge d_{\mathrm{\infty }}(x,y)$$ 而由于点列收敛的概念依赖于 $X$ 的度量, 因此当度量等价时, 它们所定义的收敛的概念是一致的.

• 此外, 我们还可以将全体 $n\times n$ 实矩阵的集合 ${\mathbf{M}}_n(\mathbb{R})$ 视为 ${\mathbb{R}}^{n^2}$, 那么 ${\mathbf{M}}_n(\mathbb{R})$ 也有以下三种度量： $$\begin{array}{rl}{d}_1(A,B)& :=\sum _{1\le i,j,\le n}|A_{ij}-B_{ij}|\\ d_2(A,B)& :=\sqrt{\sum _{1\le i,j\le n}(A_{ij}-B_{ij}{)}^2}\\ d_{\mathrm{\infty }}(A,B)& :=\underset{1\le i,j\le n}{sup}|A_{ij}-B_{ij}|\end{array}$$ 其中 $A=(A_{ij})$ 及 $B=(B_{ij})$.

注释 (复数与 $n\times n$ 矩阵的点列极限运算性质)

对于复数与 $n\times n$ 矩阵, 我们仍可以讨论关于它们的极限, 下面我们只给出关于矩阵的情形. 设 ${\{A_k\}}_{k\ge 1}$ 及 ${\{B_k\}}_{k\ge 1}$ 皆为 $n\times n$ 矩阵所构成的序列且收敛, 则有以下运算性质：

• 序列 ${\{A_k\cdot B_k\}}_{k\ge 1}$ 收敛且 ${\displaystyle \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}(A_k\cdot B_k)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_k\cdot \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{B}_k}$;
• 若 ${\displaystyle \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{B}_k}$ 为可逆矩阵 (如非奇异矩阵), 则序列 ${\{A_k\cdot B_k^{-1}\}}_{k\ge 1}$ 收敛且 ${\displaystyle \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}(A_k\cdot B_k^{-1})=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{A}_k\cdot \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{B}_k^{-1}}$.

注释

透过 定理 1.2.2 我们知道, 如若 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 单调递增而无界, 则 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=+\mathrm{\infty }}$, 利用这个结果我们可以证明以下的定理, 称之为 波尔查诺-魏尔斯特拉斯列紧性定理 (Bolzano–Weierstrass sequential compactness theorem), 不过首先让我们证明一个引理, 被称为 单调子列定理 (monotone subsequence theorem).

引理 1.2.4 (单调子列定理)

对任意实数列 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$, 我们总能找到一个单调递增 (或递减) 的子列.

证明

首先设 $X\subset \{x_1,x_2,\cdots ,x_n,\cdots \}$, 定义 $X:=\{x_k:\underset{\begin{array}{c}\ell \ge k\end{array}}{\mathrm{\forall }}{x}_k\ge x_{\ell }\}$. 直观上我们总认为 $X$ 中的元素是数列 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 中的 "山峰", 而所谓的数列中的山峰无非就是某些项 $x_k$, 并且数列当在开始走下坡路后, 例如 $x_{k+1},x_{k+2},\cdots ,x_{k+j},\cdots$ 这些后续的所有项都来得比 $x_k$ 要小, 也就是 $X$ 中条件 $\underset{\begin{array}{c}\ell \ge k\end{array}}{\mathrm{\forall }}{x}_k\ge x_{\ell }$ 的由来.

那么现在分别论证：

• 若 $X$ 为无限集, 那么将 $X$ 中元素按下标从小到大排列, 则得到一个递减的子列.

• 若 $X$ 为有限集, 假设 $X$ 中的元素被排列为 $\{x_{i_1},x_{i_2},\cdots ,x_{i_{\ell }}\}$ 我们挑选其中指标最靠后的一项 $x_{i_{\ell }}\in X$, 并且由于直观上 $x_{i_{\ell }}$ 是数列中的山峰, 也就意味着对于 $x_{i_{\ell }+1}\notin X$ 必然小于或等于 $x_{i_{\ell }}$. 另一方面, 由于所有指标大于 $i_{\ell }$ 的每一项都不是山峰, 意味着存在 $x_{i_{\ell }}<x_{i_{\ell }+j}$ 且 $x_{i_{\ell }+j}$ 后续的每一项也都不是山峰, 显然我们可以获得一个单调递增的数列 ${\left\{x_{i_{\ell }+(j+k)}\right\}}_{k\ge 1}$, 因为： $$x_{i_{\ell }+1}<x_{i_{\ell }}<x_{i_{\ell }+j}\le x_{i_{\ell }+(j+1)}\le x_{i_{\ell }+(j+2)}\le \cdots$$

定理 1.2.5 (波尔查诺-魏尔斯特拉斯列紧性定理)

任意有界的实数列 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 必有收敛子列.

证明

对任意实数列我们可以直接透过 引理 1.2.4 找到相应的单调子列, 再加上有界性透过 定理 1.2.2 直接得证.

注释 (柯西判别准则的引入)

让我们回到数列极限的定义上, 由于其依赖于极限的值, 所以我们是无法在不了解极限值的情况下做证明的, 因此需要找到一种内蕴的方式来判断极限是否存在, 所以我们引入柯西列的概念.

定义 1.2.6 (柯西列)

称实数列 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 为 柯西列 (Cauchy sequence), 当满足了 $\underset{\begin{array}{c}ϵ>0\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}N\in {\mathbb{N}}^{\times }\end{array}}{\mathrm{\exists }}\underset{\begin{array}{c}m,n\ge N\end{array}}{\mathrm{\forall }}|x_n-x_m|<ϵ$.

引理 1.2.7 (柯西列的基本性质)

1. 柯西列必定有界;
2. 若柯西列的子列收敛, 则该柯西列亦收敛.

证明

我们下设 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 为柯西列：

1. 对任意 $ϵ>0$, 我们讨论以下两种情况：

   • 当考虑有穷项时：

     即对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\times }$ 并且 $n<N$ 的这些项 $x_n$, 我们知道有穷项的界就是从 $x_1,x_2,\cdots ,x_{N-1}$ 中分别取绝对值后再选取他们当中的最大者, 即 $max(|x_1|,|x_2|,\cdots ,|x_{N-1}|)$.

   • 当考虑后续的无穷项时：

     由于在 $n$ 充分大的情况下有 $|x_n-x_m|<ϵ$, 我们取 $m=N$, 那么 $|x_n-x_N|<ϵ$ 就意味着： $$\begin{array}{rl}|x_n|-|x_N|& \le |x_n-x_N|<ϵ\\ |x_n|& \le ϵ+|x_N|\end{array}$$

   因此结合上述两种情况, 我们只需取 $M=max(|x_1|,|x_2|,\cdots ,|x_{N-1}|,ϵ+|x_N|)$, 那么对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\times }$ 则有 $|x_n|\le M$ 成立.

2. 若 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 的子列 ${\{x_{n_k}\}}_{k\ge 1}$ 收敛到 $x$, 故有条件 ${\displaystyle \underset{\begin{array}{c}ϵ>0\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}{N}_1\in {\mathbb{N}}^{\times }\end{array}}{\mathrm{\exists }}\underset{\begin{array}{c}{n}_k\ge N_1\end{array}}{\mathrm{\forall }}|x_{n_k}-x|<\frac{ϵ}{2}}$. 另一方面, 由于 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 为柯西列, 因此又有条件 ${\displaystyle \underset{\begin{array}{c}ϵ>0\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}{N}_2\in {\mathbb{N}}^{\times }\end{array}}{\mathrm{\exists }}\underset{\begin{array}{c}m,n\ge N_2\end{array}}{\mathrm{\forall }}|x_n-x_m|<\frac{ϵ}{2}}$, 那么当我们取 $n_k={\displaystyle \underset{n_k\ge N_1}{min}\{x_{n_k}\}}$ 及 $m=n_k$ 则有： $$\begin{array}{rl}|x_n-x|\le |x_n-x_{n_k}|+|x_{n_k}-x|& <\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ\end{array}$$ 因此对任意 $ϵ>0$, 当我们取 $N=max(N_1,N_2)$, 则对任意 $n\ge N$ 上述不等式成立.

定理 1.2.8 (柯西判别准则)

设 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 为实数列, 则 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 收敛 $⟺$ ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 为柯西列.

证明

$(\Rightarrow )$ 若 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 收敛于 $x$, 那么有 ${\displaystyle \underset{\begin{array}{c}ϵ>0\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}{N}^{\prime }\in {\mathbb{N}}^{\times }\end{array}}{\mathrm{\exists }}\underset{\begin{array}{c}n\ge N^{\prime }\end{array}}{\mathrm{\forall }}|x_n-x|<\frac{ϵ}{2}}$, 意味着我们可以挑选任意足够大的 $m,n\in {\mathbb{N}}^{\times }$ 使得 ${\displaystyle |x_n-x|<\frac{ϵ}{2}}$ 及 ${\displaystyle |x_m-x|<\frac{ϵ}{2}}$ 成立, 那么我们取 $N=N^{\prime }$, 对任意 $m,n\ge N$ 时, 结合两个条件则有以下不等式成立： $$|x_n-x_m|\le |x_n-x|+|x-x_m|<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ.$$ $(\Leftarrow )$ 若柯西列 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 收敛, 透过 引理 1.2.4 的 $(2)$ 我们只需构造它的一个收敛子列, 由 引理 1.2.1 及 引理 1.2.4 的 $(1)$ 就能找到一个单调有界的子列 ${\{x_{n_k}\}}_{k\ge 1}$, 最后由 定理 1.2.2 完成证明.

例子 1.2.9 (交错调和级数)

比方说, 我们希望证明以下级数是收敛的： $$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots =\frac{\pi }{4}$$ 透过柯西判别准则, 我们可在完全不知其的极限值是 $\frac{\pi }{4}$ 的情况下证得上述级数是收敛的, 以下是具体证明.

证明

设该级数的部分和为 $x_n:={\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}}$, 只要 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 是收敛的那么整个级数都将收敛, 不妨设 $m>n$, 则有： $$x_m-x_n=\frac{(-1{)}^{n+2}}{n+1}+\frac{(-1{)}^{n+3}}{n+2}+\cdots +\frac{(-1{)}^{m+1}}{m}$$ 那么只要当 $n$ 为偶数时：

• 从第二项开始两两结合则有： $$x_m-x_n=\frac{1}{n+1}-\underset{>0}{\underbrace{(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3})}}-\cdots -\underset{>0}{\underbrace{(\frac{1}{m-2}-\frac{1}{m-1})}}-\frac{1}{m}<\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$$

• 此外, 只要我们从第三项开始两两结合则又得： $$x_m-x_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}+\underset{>0}{\underbrace{(\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+4})}}+\cdots +\underset{>0}{\underbrace{(\frac{1}{m-2}-\frac{1}{m-1})}}+\frac{1}{m}>\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>\frac{1}{n}$$

而当 $n$ 为奇数时仍可得到上述 (为负的) 结论, 则可得 ${\displaystyle |x_m-x_n|<\frac{1}{n}}$, 因此对任意 $ϵ>0$, 只需取 ${\displaystyle N=\frac{1}{ϵ}}$, 当 $m>n\ge N$ 时 $|x_m-x_n|<ϵ$ 成立.

注释

事实上类似于上述的正项交错级数有以下的判别式, 称之为 交错级数判别式 (alternating series test), 而由于该式最早由莱布尼茨发现, 因此又被称为 莱布尼茨判别式 (Leibniz's test).

定理 1.2.10 (交错级数判别式)

设 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 为递减的正实数的数列, 且 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=0}$, 则级数 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k+1}{x}_k}$ 收敛.

推论 1.2.11 (级数的柯西判别准则)

实数项级数 ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k}$ 是收敛的 $⟺$ $\underset{\begin{array}{c}ϵ>0\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}N\in {\mathbb{N}}^{\times }\end{array}}{\mathrm{\exists }}\underset{\begin{array}{c}n\ge N\\ p\ge 0\end{array}}{\mathrm{\forall }}\left|\sum _{n\le k\le n+p}{a}_k\right|<ϵ$.

证明

假设 ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k}$ 收敛, 这意味着对任意的部分和 ${\displaystyle x_n:=\sum _{k=0}^n{a}_k}$ 皆收敛, 那么由 定理 1.2.5 易见其收敛当且仅当其为柯西列, 即有： $$\underset{\begin{array}{c}ϵ>0\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}N\in {\mathbb{N}}^{\times }\end{array}}{\mathrm{\exists }}\underset{\begin{array}{c}m,n\ge N\end{array}}{\mathrm{\forall }}|x_m-x_n|=|\sum _{k=0}^m{a}_k-\sum _{k=0}^n{a}_k|<ϵ$$ 不妨设 $m\ge n$ 且对任意 $p\in \mathbb{N}$ 取 $m=n+p$, 则有 ${\displaystyle \sum _{k=n}^{n+p}{a}_k=\sum _{n\le k\le n+p}{a}_k}$, 反之亦然, 因此命题成立.

定义 1.2.12 (数列的上极限与下极限)

设 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 为实数列, 那么对任意 $n\ge 1$：

• 设 ${\displaystyle {\bar{x}}_n:=\underset{\ell \ge n}{sup}{x}_{\ell }}$, 显然 ${\{{\bar{x}}_n\}}_{n\ge 1}$ 为单调下降数列, 因此定义 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 的 上极限 (upper limit) 为： $$\overline{lim}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\bar{x}}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left(\underset{\ell \ge n}{sup}{x}_{\ell }\right)$$

• 设 ${\displaystyle {\underset{―}{x}}_n:=\underset{\ell \ge n}{inf}{x}_{\ell }}$, 显然 ${\{{\underset{―}{x}}_n\}}_{n\ge 1}$ 为单调递增数列, 因此定义 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 的 下极限 (lower limit) 为： $$\underset{―}{lim}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\underset{―}{x}}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left(\underset{\ell \ge n}{inf}{x}_{\ell }\right)$$

引理 1.2.13 (实数列的极限与其子列等价)

设 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 为实数列, 若有 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=L}$, 则任意 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 的子列 ${\{x_{n_k}\}}_{k\ge 1}$, 它的极限仍为 $L$.

证明

数列 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 收敛于 $L$ 意味着 $\underset{\begin{array}{c}ϵ>0\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}{N}^{\prime }\in {\mathbb{N}}^{\times }\end{array}}{\mathrm{\exists }}\underset{\begin{array}{c}n\ge N^{\prime }\end{array}}{\mathrm{\forall }}|x_n-L|<ϵ$, 需证明 $\underset{\begin{array}{c}ϵ>0\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}N\in {\mathbb{N}}^{\times }\end{array}}{\mathrm{\exists }}\underset{\begin{array}{c}k\ge N\end{array}}{\mathrm{\forall }}|x_{n_k}-L|<ϵ$.

由于 ${\{x_{n_k}\}}_{k\ge 1}$ 是 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 的子列, 而 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 收敛意味着它与它的子列都是单调递增的, 即是说 $n_k\le n_{k+1}$, 事实上如果考虑另一自然数列 $a_k:=k$, 透过归纳法可以得到 $a_k\le n_k\le n_{k+1}$ 以及 $a_{k+1}\le n_{k+1}$, 遂得知对任意的 $k\in {\mathbb{N}}^{\times }$ 都有 $k\le n_k$ 成立.

因此对任意 $ϵ>0$, 只要取 $N=N^{\prime }$ 则对任意 $n_k\ge k\ge N$ 有 $|x_{n_k}-L|<ϵ$ 成立.

定理 1.2.14 (上/下极限刻画数列收敛性)

设 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 为实数列, 则 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 收敛于 $L$ $⟺$ ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{x}_n=L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{x}_n}$.

证明

$(\Rightarrow )$ 假设 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=L}$, 由 引理 1.2.13 知道对任意 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 的子列, 其极限皆为 $L$, 因此易得 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{x}_n=L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{x}_n}$.

$(\Leftarrow )$ 设 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{x}_n=L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{x}_n}$ 成立, 这意味着我们同时有： $$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{x}_n& ⟺\underset{\begin{array}{c}ϵ>0\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}{N}_1\in {\mathbb{N}}^{\times }\end{array}}{\mathrm{\exists }}\underset{\begin{array}{c}n\ge N_1\end{array}}{\mathrm{\forall }}|\underset{\ell \ge n}{sup}{x}_{\ell }-L|<ϵ\\ \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{x}_n& ⟺\underset{\begin{array}{c}ϵ>0\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}{N}_2\in {\mathbb{N}}^{\times }\end{array}}{\mathrm{\exists }}\underset{\begin{array}{c}n\ge N_2\end{array}}{\mathrm{\forall }}|\underset{\ell \ge n}{inf}{x}_{\ell }-L|<ϵ\end{array}$$ 即是说, 当任意 $ϵ>0$, 只须取 $N=max\{N_1,N_2\}$ 则对任意 $n\ge N$ 都有以下不等式成立： $$L-ϵ<\underset{\ell \ge n}{inf}{x}_{\ell }\le x_n\le \underset{\ell \ge n}{sup}{x}_{\ell }<L+ϵ$$

例子 1.2.15 (${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{n}=1}$)

首先我们知道有 $\sqrt[n]{n}\ge 1$, 根据算术-几何均值不等式则得： $$\sqrt[n]{n}=\sqrt[n]{1\cdot 1\cdots 1\cdot \sqrt{n}\cdot \sqrt{n}}\le \frac{1}{n}(1+1+\cdots +1+\sqrt{n}+\sqrt{n})=\frac{n-2}{n}+\frac{2\sqrt{n}}{n}\le 1+\frac{2}{\sqrt{n}}$$ 结合前边的条件得 ${\displaystyle 0\le \sqrt[n]{n}-1\le \frac{2}{\sqrt{n}}}$, 那么对任意 $ϵ>0$, 只须取 $N={\displaystyle \frac{4}{{ϵ}^2}}$ 则对任意 $n\ge N$ 有 $|\sqrt[n]{n}-1|<ϵ$ 成立.

例子 1.2.16 (构造欧拉常数)

我们可以用序列极限来定义 欧拉常数 (Euler's constant) 为 $e:={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n}$, 此外亦可利用级数的方式构造 $e$, 即有 ${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}}$.

证明

为了证明这个事实, 设数列 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 的项为 $x_n:={\displaystyle {(1+\frac{1}{n})}^n}$, 则需要分别验证以下命题：

• 首先说明 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n}$ 的收敛性, 设其极限为 $L$, 由 定理 1.2.2 则须说明该数列是单调有界的：

  • 单调性, 即只须说明 $\underset{\begin{array}{c}n\in {\mathbb{N}}^{\times }\end{array}}{\mathrm{\forall }}{x}_n\le x_{n+1}$, 即： $$\begin{array}{rl}{(1+\frac{1}{n})}^n& =\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{1}{n^k}=\sum _{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot \frac{1}{n^k}\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot \frac{n!}{(n-k)!}\cdot \frac{1}{n^k}\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot \frac{n(n-1)\cdots (n-(k-1))}{n^k}\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})\\ & <\sum _{k=0}^{n+1}\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots (1-\frac{k-1}{n+1})\\ & ={(1+\frac{1}{n+1})}^{n+1}\end{array}$$

  • 有上界, 即应有 $\underset{\begin{array}{c}M\in \mathbb{R}\end{array}}{\mathrm{\exists }}\underset{\begin{array}{c}n\in {\mathbb{N}}^{\times }\end{array}}{\mathrm{\forall }}{x}_n\le M$ 成立：

    根据 $\underset{\begin{array}{c}k\ge 2\end{array}}{\mathrm{\forall }}k!\ge 2^k$, 就有 ${\displaystyle \frac{1}{k!}\le \frac{1}{2^k}}$, 遂得： $$\begin{array}{rl}{\displaystyle {(1+\frac{1}{n})}^n}& =\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\underset{\text{小于 }1\text{ 的数乘在一块当然仍小于 }1}{\underbrace{(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})}}\\ & \le \sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\le 1+1+\underset{=1}{\underbrace{\sum _{k=1}^n\frac{1}{2^k}}}=3\end{array}$$

  结合上述两者就证得 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n}$ 的极限的确存在.

• 同样地, 我们需要说明级数 ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}}$ 的收敛性, 根据 推论 1.2.11, 即应证明 $\underset{\begin{array}{c}ϵ>0\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}N\in {\mathbb{N}}^{\times }\end{array}}{\mathrm{\exists }}\underset{\begin{array}{c}n\ge N\\ p\ge 0\end{array}}{\mathrm{\forall }}\left|\sum _{n\le k\le n+p}\frac{1}{k!}\right|<ϵ$：

  从上述有界性的证明中可以观察到部分和 ${\displaystyle \sum _{k=1}^n\frac{1}{2^k}=1}$, 事实上无穷级数 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^k}}$ 也收敛的, 而由于 $\underset{\begin{array}{c}k\ge 2\end{array}}{\mathrm{\forall }}k!\ge 2^k$, 当挑选合适的 $N$ 使 $n$ 充分大时则有： $$\begin{array}{rl}\sum _{n\le k\le n+p}\frac{1}{k!}& =\frac{1}{n!}+\frac{1}{(n+1)!}+\cdots +\frac{1}{(n+p)!}\\ & \le \frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n+1}}+\cdots +\frac{1}{2^{n+p}}\\ & =\sum _{n\le k\le n+p}\frac{1}{2^k}<ϵ\end{array}$$

• 最后我们来证明 ${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}}$, 即分别说明：

  • ${\displaystyle e\le \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}}$：

    同样在上述有界性的证明中, 注意到 ${\displaystyle \underset{\begin{array}{c}n\in {\mathbb{N}}^{\times }\end{array}}{\mathrm{\forall }}{x}_n={(1+\frac{1}{n})}^n\le \sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}}$, 既然是对于任意的 $n$, 那么显然 $x_n$ 无论是有穷亦或无穷项下都满足该条件, 另一方面由于级数 ${\displaystyle \sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}}$ 单调递增, 因此只须对上述两侧取极限, 则得： $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n\le \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}$$

  • ${\displaystyle e\ge \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}}$：

    由数列 ${\{x_n\}}_{n\ge 1}$ 的单调性, 假设对任意 $n,m\in {\mathbb{N}}^{\times }$, 其中 $n\ge m$, 则有 $x_n\ge x_m$. 然而 $n,m$ 都是任取的, 因此只要对 $x_n\ge x_m$ 两侧取极限则该不等式仍成立, 即是说： $$\begin{array}{rl}e& ={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})\\ & \ge \underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^m\frac{1}{k!}\underset{\text{只要 }m\to \mathrm{\infty }\text{, 则该部分非常接近 }1}{\underbrace{(1-\frac{1}{m})(1-\frac{2}{m})\cdots (1-\frac{k-1}{m})}}\\ & =\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^m\frac{1}{k!}\cdot \underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}(1-\frac{1}{m})(1-\frac{2}{m})\cdots (1-\frac{k-1}{m})\\ & =\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^m\frac{1}{k!}\cdot 1\\ & =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}\end{array}$$

  综上所述便证得了 ${\displaystyle e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}}$ 成立.