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同伦论基础 2 - 基本群与群胚

2023-05-30

本文存在部分内容尚未完全施工完毕, 作者将尽快更新!

2. 基本群与群胚

定义 2.1 (道路, 常值道路)

设 $X \in \Top$:

  • 称连续函数 $\gamma : I \to X$ 为从 $\gamma(0)$ 到 $\gamma(1)$ 的 道路 (path);
  • 定义上述道路 $\gamma$ 的逆向道路为 $\Map{\gamma^{-1}}{I}{X}{t}{\gamma(1-t)}$;
  • 称连续函数 $\Map{1_x}{I}{X}{t}{x}$ 为点 $x \in X$ 的 常值道路 (constant path).

定义 2.2 (道路同伦)

设 $\gamma_1, \gamma_2 : I \to X$ 为两条道路, 若满足以下条件:

  • 它们的基点保持一致:$\gamma_1(0) = \gamma_2(0)$ 以及 $\gamma_1(1) = \gamma_2(1)$;

  • 存在 $\gamma_1, \gamma_2$ 间的同伦 $\eta : \gamma_1 \Rightarrow \gamma_2$ 使得以下连续函数满足: $$
    \begin{align}
    I \times I & \overset{\eta}{\to} X \\
    (0, -) & \mapsto 1_{\gamma_1(0)} = 1_{\gamma_2(0)} \\
    (1, -) & \mapsto 1_{\gamma_1(1)} = 1_{\gamma_2(1)}
    \end{align}
    $$

则称 $\eta$ 为 $\gamma_1$ 与 $\gamma_2$ 的 道路同伦 (path homotopy), 或称 $\gamma_1$ 道路同伦于 (path homotopic to) $\gamma_2$, 记号与同伦类似.

注释 (道路同伦构成等价关系)

道路同伦类似于同伦, 亦满足所有等价关系的性质, 因此我们可以定义它的商集.

定义 2.3 (全体道路同伦类的集合)

设 $X \in \Top$ 以及任意点 $x, y \in X$:

  • 定义 $P_{x, y} X$ 为 $X$ 中端点为 $\gamma(0) = x$ 以及 $\gamma(1) = y$ 的任意道路 $\gamma$ 所构成的集合;
  • $P_{x, y} X$ 商掉道路同伦 $\sim_h$ 后的商集定义为 $\Hom{\Pi_1(X)}{x}{y} \coloneqq (P_{x, y} X)/ \sim_h$;
  • $\Hom{\Pi_1(X)}{x}{y}$ 中的元素 (等价类) 被称为从 $x$ 到 $y$ 的 道路同伦类 (path homotopy classes).

命题 2.4 (道路同伦类的合成与性质)

设 $X \in \Top$, 定义道路同伦类的 道路合成 (path concatenation) 为: $$
\Map{\cdot}{ \Hom{\Pi_1(X)}{x}{y} \times \Hom{\Pi_1(X)}{x}{z} }{ \Hom{\Pi_1(X)}{x}{z} }{ ([\gamma_1], [\gamma_2]) }{[\gamma_2] \cdot [\gamma_1] = [\gamma_2 \cdot \gamma_1]}
$$ 并且满足了以下性质:

  1. 结合律:$\Forall{x, y, z, w \in X} \Forall{ [\gamma_1] \in \Pi_1(X)(x, y) \\ [\gamma_2] \in \Pi_1(X)(y, z) \\ [\gamma_3] \in \Pi_1(X)(z, w) } [\gamma_3] \cdot ([\gamma_2] \cdot [\gamma_1]) = ([\gamma_3] \cdot [\gamma_2]) \cdot [\gamma_1]$;
  2. 幺元律:$\Forall{x, y \in X \\ [\gamma] \in \Pi_1(X)(x, y)} [1_y] \cdot [\gamma] = [\gamma] = [\gamma] \cdot [1_x]$;
  3. 逆元律:$\Forall{x, y \in X \\ [\gamma] \in \Pi_1(X)(x, y)} [\gamma^{-1}] \cdot [\gamma] = [1_x], \quad [\gamma] \cdot [\gamma^{-1}] = [1_y]$.

定义 2.5 (基本群胚)

设 $X \in \Top$, 我们称 $\Pi_1(X)$ 为 基本群胚 (fundamental groupoid), 它是由以下结构所构成的范畴:

  • $\Ob{\Pi_1(X)} \coloneqq X$;
  • $\Hom{\Pi_1(X)}{x}{y} \coloneqq (P_{x, y} X)/ \sim_h$;
  • $1_{x} \coloneqq [1_x]$.

定义 2.6 (群胚)

所有态射可逆的小范畴被称为 (小) 群胚 (groupoid), 而所有群胚连带群胚间的函子作为态射则构成群胚范畴 $\Grpd$.

注释

  • 群胚是群的推广, 事实上任意群 $G$ 亦可被视作是只有一个对象的群胚, 复合由乘法给出, 所以我们有全忠实函子 $\Grp \to \Grpd$.
  • 根据 命题 2.4 的逆元律, 我们知道基本群胚 $\Pi_1(X)$ 中所有态射皆可逆, 那么 $\Pi_1(X)$ 自然就是群胚的特例, 因此可验证 $\Pi_1 : \Top \to \Grpd$ 为函子.
  • $\Grpd$ 于高阶范畴论的视角下是个 $(2,1)$-范畴, 因此它亦为 $\op{Cat}$ 的 $2$-满子范畴.

定义 2.7 ($\op{Hom}$-群胚)

我们记 $\mathcal{G}_1, \mathcal{G}_2 \in \Grpd$ 的 $\op{Hom}$-群胚 ($\op{Hom}$-groupoid) 为 $\Hom{\Grpd}{\mathcal{G}_1}{\mathcal{G}_2}$, 它是一个由下述结构所组成的范畴:

  • $\Ob{\Hom{\Grpd}{\mathcal{G}_1}{\mathcal{G}_2}} \coloneqq \Set{ \mathcal{G}_1 \overset{\text{函子}}{\to} \mathcal{G}_2 }$;
  • $\Hom{\Hom{\Grpd}{\mathcal{G}_1}{\mathcal{G}_2}}{G}{F} \coloneqq F \simeq G$, 即群胚同态 $F, G : \mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2$ 间的自然同构, 或称为 共轭作用 (conjugation action);
  • $1_{\mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2} \coloneqq \text{单位自然同构}$.

注释

设有 $\mathcal{G}_1, \mathcal{G}_2 \in \Grpd$ 以及它们之间的态射 (函子) $F, G : \mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2$, 那么则可考虑它们的自然变换 $\eta : F \Rightarrow G$, 并且由于群胚中任意态射皆可逆因此 $\eta$ 为自然同构. 因此对于任意 $x, y \in \mathcal{G}_1$ 则可使下图交换: $$
% https://darknmt.github.io/res/xypic-editor/#eyJub2RlcyI6W3sicG9zaXRpb24iOlswLDBdLCJ2YWx1ZSI6IkYoeCkifSx7InBvc2l0aW9uIjpbMCwxXSwidmFsdWUiOiJGKHkpIn0seyJwb3NpdGlvbiI6WzEsMF0sInZhbHVlIjoiRyh4KSJ9LHsicG9zaXRpb24iOlsxLDFdLCJ2YWx1ZSI6IkcoeSkifV0sImVkZ2VzIjpbeyJmcm9tIjowLCJ0byI6MSwidmFsdWUiOiJGKGYpIiwibGFiZWxQb3NpdGlvbiI6InJpZ2h0In0seyJmcm9tIjoyLCJ0byI6MywidmFsdWUiOiJHKGYpIn0seyJmcm9tIjowLCJ0byI6MiwidmFsdWUiOiJcXGV0YV94In0seyJmcm9tIjoxLCJ0byI6MywibGFiZWxQb3NpdGlvbiI6InJpZ2h0IiwidmFsdWUiOiJcXGV0YV95In1dfQ==
\xymatrix{
F(x) \ar@{->}[d]_{F(f)} \ar@{->}[r]^{\eta_x} & G(x) \ar@{->}[d]^{G(f)} \\
F(y) \ar@{->}[r]_{\eta_y} & G(y)
}
$$ 由于态射 $\eta_x, \eta_y$ 可逆, 我们可以得到以下 共轭 (conjugation) 形式: $$
G(f) = \eta_y \circ F(f) \circ \eta_x^{-1} \qquad F(f) = \eta_y^{-1} \circ G(f) \circ \eta_x
$$ 如若现在考虑 $F, G, H : \mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2$ 的任意两个自然同构 $\eta_1 : F \Rightarrow G$ 及 $\eta_2 : G \Rightarrow H$, 则它们的纵合成诱导出组件的合成: $$
(\eta_2 \circ \eta_1)(x) \coloneqq \eta_2(x) \circ \eta_1(x)
$$ 连同该纵合操作我们可以得到 $\op{Hom}$-群胚 的定义.

例子 2.8 (范畴中的群胚核)

设 $\mathcal{C}$ 为任意小范畴, 我们将 $\mathcal{C}$ 中所有同构抽取并组成一个新的子范畴 $\op{Core}(\mathcal{C}) \in \Grpd$, 我们称它为 $\mathcal{C}$ 的 核 (core), 它亦是 $\mathcal{C}$ 中的 极大群胚 (maximal groupoid). 我们可以列举一些关于极大群胚的一些基本例子:

  • 取 $\mathcal{C} = \Sets$ 则是集合的群胚, 其中的态射为集合间的双射;

  • 取 $\mathcal{C} = \op{FinSet}$ 则该群胚的骨架 (即范畴中对象间的同构皆为等价) 为所有对称群的 消圈群胚 (delooping groupoids) 的不交并, 那么有以下同构: $$
    \op{Core}(\op{FinSet}) \simeq \bigsqcup_{n \in \N} \op{Sym}(n)
    $$

  • 取 $\mathcal{C} = \Vect$ 则是线性空间的群胚, 其中的态射为线性双射;

  • 取 $\mathcal{C} = \op{FinVect}$ 则该群胚的骨架是所有一般线性群的消圈群胚, 即: $$
    \op{Core}(\op{FinVect}) \simeq \bigsqcup_{n \in \N} \op{GL}(n)
    $$

例子 2.9 (离散群胚)

设 $X$ 为集合, 我们称 $\Disc{X}$ 为 $X$ 的 离散群胚 (discrete groupoid), 当中的对象为 $X$ 中的对象而唯一的态射则是 $X$ 中恒等态射.

若我们考虑 $X$ 是一个离散拓扑空间, 那么 $\Disc{X}$ 则是它的基本群胚.

例子 2.10 (群胚的余积)

设 $\set{\mathcal{G}_i}_{i \in I}$ 为一族群胚的集合, 那么它们的不交并 $\displaystyle \bigsqcup_{i \in I} \mathcal{G}_i$ 仍为群胚, 称为 余积群胚 (coproduct groupoid), 其中:

  • $\displaystyle \Ob{\bigsqcup_{i \in I} \mathcal{G}_i} \coloneqq \bigsqcup_{i \in I} \Ob{\mathcal{G}_i}$;
  • $\displaystyle \Hom{\bigsqcup_{i \in I} \mathcal{G}_i}{x}{y} \coloneqq \displaystyle \bigsqcup_{i \in I} \Hom{\mathcal{G}_i}{x}{y}$.

例子 2.11 (群胚的积)

设 $\set{ \mathcal{G}_i }_{i \in I}$ 为一族群胚的集合, 那么它们的积 $\displaystyle \prod_{i \in I} \mathcal{G}_i$ 仍为群胚, 称为 群胚积 (product groupoid), 其中:

  • $\displaystyle \Ob{ \prod_{i \in I} \mathcal{G}_i } \coloneqq \prod_{i \in I} \Ob{\mathcal{G}_i}$;
  • $\Hom{\prod_{i \in I} \mathcal{G}_i}{(x_i)_{i \in I}}{(y_i)_{i \in I}} \coloneqq \displaystyle \prod_{i \in I} \Hom{\mathcal{G}_i}{x_i}{y_i}$.

这里有一些相关的例子:

  • 考虑一族群 $\set{G_i}_{i \in I}$ 的消圈群胚 $\mathcal{G}_i = BG_i$, 那么 $BG_i$ 的乘积同构于对 $\set{G_i}_{i \in I}$ 的群直积消圈, 即有: $$
    \prod_{i \in I} BG_i \simeq \kb{B}{\prod_{i \in I} G_i}
    $$

  • 若 $\displaystyle \bigsqcup_{i \in I} \mathcal{G}_i$ 为余积群胚, 那么对任意 $\mathcal{G} \in \Grpd$, 有群胚同态 $\displaystyle \bigsqcup_{i \in I} \mathcal{G}_i \to \mathcal{G}$, 它等价于一族群胚同态 $f_i : \mathcal{G}_i \to \mathcal{G}$ 的元组 $(f_i)_{i \in I}$, 因此我们有以下关系: $$
    \Hom{\Grpd}{ \bigsqcup_{i \in I} \mathcal{G}_i }{\mathcal{G}} \simeq \prod_{i \in I} \Hom{\Grpd}{\mathcal{G}_i}{\mathcal{G}}
    $$

注释

无论是群胚还是 $\op{Hom}$-群胚, 它们都具有许多有趣的性质, 我们将于后续详细地讨论它, 现在先让我们引入基本群相关的一些概念.

定义 2.12 (点拓扑空间)

设 $X \in \Top$:

  • 选取任意 $x \in X$ 为 基点 (basepoint), 并称 $(X, x)$ 为 点拓扑空间 (pointed topological space);
  • 带基点拓扑空间之间的连续函数 $f : (X, x) \to (Y, y)$ 保持基点, 即 $f(x) = y$.

注释 (点拓扑空间范畴的同伦范畴)

  • 由上述点拓扑空间及保持基点的连续函数所构成的范畴称为 点拓扑空间范畴 (pointed topological space category), 记为 $\PTop$.
  • 类似地, 在 $\PTop$ 中对任意连续函数 $f, f' : (X, x) \to (Y, y)$, 它们之间的同伦 $\eta : f \Rightarrow f'$, 连续函数 $\eta : X \times I \to Y$ 亦应于任何时刻下保持基点不变, 即 $\Forall{t \in I} \eta(x, t) = y$.
  • 我们依旧可以透过 $\kappa : \PTop \to \Ho{\PTop}$ 获得 $\PTop$ 的同伦范畴, 该范畴中的态射为保持基点的同伦类.

定义 2.13 (基本群)

设 $(X, x) \in \PTop$, 我们定义 基本群 (fundamental groups) 为: $$
\pi_1(X, x) \coloneqq \Aut_{\Pi_1(X)}(x)
$$ 即为从基点 $x$ 到自身的环路的道路同伦类集合连带 命题 2.3 中定义的合成道路所构成的自同构群.

注释

  • 将基本群的概念推广至更高维度, 我们称 $\pi_n(X, x)$ 为第 $n$ 维 同伦群 (homotopy groups), 因此基本群在该语境下亦被称为 第一同伦群 (first homotopy group).
  • 由于 $\Pi_1(X)$ 中所有的态射可逆, 态射集 $\Hom{\Pi_1(X)}{x}{x}$ 中的所有自同构将构成群, 我们记为 $\Aut_{\Pi_1(X)}(x)$.
  • 基本群胚 $\mathcal{G}$ 中所包含的 "信息" 实际上就是许多个基本群.

定义 2.14 (基本群间的态射)

设 $(X, x), (Y, y) \in \PTop$ 以及它们之间的保基点连续函数 $f : X \to Y$, 则可诱导出它们的基本群同态: $$
\Map{f_*}{\pi_1(X, x)}{\pi_1(Y, y)}{ \bb{I \overset{\gamma}{\to} X}_{\sim_h} }{ \bb{f \circ \gamma : I \overset{\gamma}{\to} X \overset{f}{\to} Y}_{\sim_h} }
$$

注释

注意到上述的推出操作 $f_* = \pi_1(f)$ 是函子性的, 因为有 基本群函子 (fundamental group functor), 即 $\pi_1 : \PTop \to \Grp$.

命题 2.15 (基本群仅依赖于同伦类)

设 $(X, x), (Y, y) \in \PTop$ 及保基点的连续函数 $f_1, f_2 : X \to Y$:

  1. 若存在它们之间的同伦 $\eta : f_1 \Rightarrow f_2$, 则其诱导出相同的推出 $(f_1)_* = (f_2)_* : \pi_1(X, x) \to \pi_1(Y, y)$;
  2. 特别地若 $f : X \to Y$ 是同伦等价, 则 $f_* : \pi_1(X, x) \to \pi_1(Y, y)$ 是同构.
证明
  1. 由于 $f_1 \Rightarrow f_2$, 透过自然变换的横合易得 $f_1 \circ \gamma \Rightarrow f_2 \circ \gamma$, 因此 ${f_1}_*([\gamma]) = [f_1 \circ \gamma] = [f_2 \circ \gamma] = {f_2}_*([\gamma])$.
  2. 若 $f : X \to Y$ 是同伦等价, 则存在 $f$ 的逆映射 $g : Y \to X$ 使得有推出 $g_* : \pi_1(Y, y) \to \pi_1(X, x)$.

注释

由于任意于 $\PTop$ 中的连续函数 $f : X \to Y$ 会被函子 $\kappa : \PTop \to \Ho{\PTop}$ 映射至他的同伦类 $[f]$, 而由 命题 2.15 又得知基本群间的映射仅依赖于同伦类, 则可使得下图交换: $$
% https://darknmt.github.io/res/xypic-editor/#eyJub2RlcyI6W3sicG9zaXRpb24iOlswLDBdLCJ2YWx1ZSI6IlxcdGV4dHtUb3B9XnsqL30ifSx7InBvc2l0aW9uIjpbMCwxXSwidmFsdWUiOiJcXHRleHR7SG99KFxcdGV4dHtUb3B9XnsqL30pIn0seyJwb3NpdGlvbiI6WzEsMF0sInZhbHVlIjoiXFx0ZXh0e0dycH0ifV0sImVkZ2VzIjpbeyJmcm9tIjoxLCJ0byI6Mn0seyJmcm9tIjowLCJ0byI6MiwibGFiZWxQb3NpdGlvbiI6ImxlZnQiLCJ2YWx1ZSI6IlxccGlfMSJ9LHsiZnJvbSI6MCwidG8iOjEsInZhbHVlIjoiXFxrYXBwYSIsImxhYmVsUG9zaXRpb24iOiJyaWdodCJ9XX0=
\xymatrix{
\text{Top}^{*/} \ar@{->}[r]^{\pi_1} \ar@{->}[d]_{\kappa} & \text{Grp} \\
\text{Ho}(\text{Top}^{*/}) \ar@{->}[ru] &
}
$$

定义 2.16 (单连通拓扑空间)

我们称 $X \in \Top$ 是 单连通 (simply connected) 的, 当同时满足了:

  1. 道路连通:$\pi_0(X) \simeq *$;
  2. 基本群是平凡的:$\pi_1(X, x) \simeq 1$.

注释 (单连通空间的几何诠释)

直观地说单连通的空间中所有的闭曲线都能连续的收缩至一点, 换句话说, 单连通意味着该空间中没有 "洞", 因为洞会阻碍某些闭曲线收缩至一点上, 因此可等价地刻画为基本群是平凡的.

例子 2.17 (单连通的例子)

设有维度 $n \in \N$:

  • $n$ 维球面 $S^n$ 与欧氏空间 $\R^n$ 是单连通的.
  • 环面 $T^2$ 并不是单连通的, 更广义地亏格数不为 $0$ 的闭曲面都不是单连通的.

定义 2.18 (半局部单连通空间)

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