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同伦论基础 1 - 同伦与同伦等价

2023-03-05

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1. 同伦与同伦等价

注释

对于任意 $n \geq 1$ 的欧氏空间 $\R^n$ 或与 $\R^n$ 同胚的单位开球 $B_0^\circ(1)$, 我们都知道它们均不可能同胚于 $* = \R^0$, 因为这两者从基础集上就已经不为双射了, 但直觉上我们知道开球 $B_0^\circ(1)$ 可以连续地收缩至其原点 $0$ 上, 所以直观上 $n$ 维开球亦被称为是其原点的 连续形变 (continuous deformations). 那么现在假设我们定义有以下闭单位区间 $I \coloneqq [0, 1]$ 与 $B_0^\circ(1)$ 到 $B_0^\circ(1)$ 的连续函数: $$
\Map{\eta}{I \times B_0^\circ(1)}{B_0^\circ(1)}{(t, x)}{t \cdot x}

$$ 显然当取值 $t = 1$ 时单位开球 $B_0^\circ(1)$ 保持不变, 而 $t = 0$ 时会将该开球收缩至原点上, 那么透过交换图我们可总结出以下规律: $$

\xymatrix{
\set{0} \times B^\circ_0(1) \ar@{->}[r]^{\exists !} \ar@{->}[d] & * \ar@{->}[d]^{\const_0} \\
I \times B_0^\circ(1) \ar@{->}[r]^{\eta} & B_0^\circ(1) \\
\set{1} \times B^\circ_0(1) \ar@{->}[ru]_{\simeq} \ar@{->}[u] &
}

$$ 其中该处的连续形变 $\eta$ 便被我们称为 同伦 (homotopies).

定义 1.1 (拓扑区间)

设闭区间 $I \sub \R$ 为携带了 $\R$ 的度量拓扑的拓扑子空间, 若 $I$ 被称为 拓扑区间 (topological interval), 当其包含了:

  1. 常值连续函数 $\const_0 : * \to I$ 以及 $\const_1 : * \to I$;
  2. 从该区间到点拓扑空间 $*$ ($\Top$ 中的终对象) 的唯一连续函数 $I \to *$.

事实上即可将点空间 $*$ 的 余对角 (codiagonal) $\nabla_*$, 即从不交并点空间 $* \sqcup *$ (其中 $* \sqcup * \simeq \Disc{\set{0, 1}}$) 到点空间的唯一连续函数分解为以下形式: $$
\nabla_* : * \sqcup * \overset{(\const_0, \const_1)}{\to} I \to *

$$

定义 1.2 (同伦)

设 $X, Y \in \Top$, 以及连续函数 $f, g : X \to Y$, 若存在连续函数 $\eta : X \times I \to Y$ (其中 $I$ 为拓扑区间) 使得其被称为:

  • 从 $f$ 到 $g$ 的 左同伦 (left homotopy), 记为 $\eta : f \Rightarrow g$; 或
  • $f$ 同伦于 (homotopic to) $g$, 记为 $f \sim_h g$.

当满足了条件 $\eta \circ (\id, \const_0) = f$ (或为 $\eta(-, 0) = f$) 以及 $\eta \circ (\id, \const_1) = g$ (或为 $\eta(-, 1) = g$), 即使得下图可交换:

$$

\xymatrix{
X \times \set{0} \ar@{->}[rd]^{f} \ar@{->}[d]_{{(\id, \const_0)}} & \\
X \times I \ar@{->}[r]^{\eta} & Y \\
X \times \set{1} \ar@{->}[ru]_{g} \ar@{->}[u]^{{(\id, \const_1)}} &
}

$$

命题 1.3 (同伦构成等价关系)

设 $X, Y \in \Top$, 连续函数 $f, g \in \Top(X, Y)$, 以及他们之间的一个同伦 $f \sim_h g$, 则 $\sim_h$ 构成等价关系;

证明

若 $\sim_h$ 构成等价关系, 分别证明:

  • 自反性 $\Forall{f \in \Top(X, Y)} f \sim_h f$:

    设有连续函数 $\eta : X \times I \overset{\text{pr}_1}{\to} X \overset{f}{\to} Y$, 则可使得下图可交换: $$

    \xymatrix{
    X \times \set{0} \ar@{->}[rrd]^{f} \ar@{->}[d]_{{(\text{id}, \text{const}_0)}} & & \\
    X \times I \ar@{->}[r]|-{\text{pr}_1} & X \ar@{->}[r]|-{f} & Y \\
    X \times \set{1} \ar@{->}[rru]_{f} \ar@{->}[u]^{{(\text{id}, \text{const}_1)}} & &
    }

    $$ 其中 $\text{pr}_1$ 为乘积拓扑空间的典范投射, 因此仍为连续函数, 且由于有 $\eta(-, 0) = \eta(-, 1) = f$, 因此 $\eta$ 为从 $f$ 到自身的同伦.

  • 对称性 $\Forall{f, g \in \Top(X, Y)} f \sim_h g \implies g \sim_h f$:

    假设 $f \sim_h g$ 为同伦 $\eta_1 : f \Rightarrow g$, 则有 $\eta_1(-, 0) = f$ 以及 $\eta_1(-, 1) = g$, 若定义有连续函数 $\Map{\eta_2}{X \times I}{Y}{(x, t)}{\eta_1(x, 1-t)}$, 则可使得下图交换: $$

    \xymatrix{
    X \times \set{0} \ar@{->}[d]_{{(\text{id}, \text{const}_0)}} \ar@{->}[rd]^{{\eta_1(-, 1) = g}} & \\
    X \times I \ar@{->}[r]|-{\eta_2} & Y \\
    X \times \set{1} \ar@{->}[u]^{{(\text{id}, \text{const}_1)}} \ar@{->}[ru]_{{\eta_1(-, 0) = f}} &
    }

    $$ 其中使得有 $\eta_2(-, 0) = \eta_1(-, 1) = g$ 以及 $\eta_2(-, 1) = \eta_1(-, 0) = f$, 因此 $\eta_2$ 为从 $g$ 到 $f$ 的同伦.

  • 传递性 $\Forall{f, g, h \in \Top(X, Y)} (f \sim_h g) \and (g \sim_h h) \implies f \sim_h h$:

    分别假设 $f \sim_h g$ 以及 $g \sim_h h$ 为同伦 $\eta_1 : f \Rightarrow g$ 以及 $\eta_2 : g \Rightarrow h$, 那么则有 $\eta_1(-, 0) = f, \eta_1(-, 1) = g$ 以及 $\eta_2(-, 0) = g, \eta_2(-, 1) = h$, 若定义有连续函数 $\eta_3 = \eta_2 \circ \eta_1$: $$
    \Map{\eta_3}{X \times I}{Y}{(x, t)}{\cases{ \eta_1(x, 2t) & if $0 \leq t \leq \frac{1}{2}$ \\ \eta_2(x, 2t-1) & if $\frac{1}{2} \leq t \leq 1$ }}

    $$ 则使得有 $\eta_3(-, 0) = \eta_1(-, 0) = f$ 和 $\eta_3(-, \frac{1}{2}) = \eta_1(-, 1) = \eta_2(-, 0) = g$ 以及 $\eta_3(-, 1) = \eta_2(-, 1) = h$, 因此 $\eta_3$ 为从 $f$ 到 $h$ 的同伦.

定义 1.4 (同伦类)

设 $X, Y \in \Top$ 以及任意连续函数 $f \in \Top(X, Y)$, 则 $f$ 的 同伦类 (homotopy class) 定义为携带了同伦 $\simeq_h$ 作等价关系的等价类, 即: $$
[f] \coloneqq \Set{ X \overset{g}{\to} Y \in \Top(X, Y) : f \sim_h g }

$$ 而全体连接 $X$ 与 $Y$ 的连续函数的同伦类则构成了商集 $[X, Y] \coloneqq \Top(X, Y)/\sim_h$.

命题 1.5 (同伦类兼容结合律)

同伦类兼容连续函数的结合律, 并且对于 $X, Y, Z \in \Top$, 存在唯一映射 $[X, Y] \times [Y, Z] \to [X, Z]$ 使得下图可交换: $$

\xymatrix{
\Top(X, Y) \times \Top(Y, Z) \ar@{->}[rr]^{{\circ_{X, Y, Z}}} \ar@{->}[d] & & \Top(X, Z) \ar@{->}[d] \\
[X, Y] \times [Y, Z] \ar@{->}[rr] & & [X, Z]
}

$$

证明

定义连续函数的复合 $X \overset{f}{\to} Y \overset{g'}{\underset{g}\rightrightarrows} Z \overset{h}\to W$, 若有同伦 $\eta_1 : g \Rightarrow g'$, 即有连续函数 $\eta_1 : Y \times I \to Z$, 则它们应满足结合律, 即应有同伦 $\eta_2 : h \circ g \circ f \Rightarrow h \circ g' \circ f$, 那么只需取 $\eta_2 = h \circ \eta_1 \circ (f, \id)$ 即可使得下图可交换: $$

\xymatrix{
X \ar@{->}[d]_{{(\text{id}, \text{const}_0)}} \ar@{->}[r]^{f} & Y \ar@{->}[d]_{{(\text{id}, \text{const}_0)}} \ar@{->}[rd]|-{g} & & \\
X \times I \ar@{->}[r]^{{(f, \text{id}_{I})}} & Y \times I \ar@{->}[r]^{\eta_1} & Z \ar@{->}[r]|-{h} & W \\
X \ar@{->}[u]^{{(\text{id}, \text{const}_0)}} \ar@{->}[r]_{f} & Y \ar@{->}[u]^{{(\text{id}, \text{const}_1)}} \ar@{->}[ru]|-{g'} & &
}

$$

定义 1.6 (同伦范畴)

若将全体连续函数的同伦的集合类视为态射, 则由它们所组成的范畴被称为 同伦范畴 (homotopy category), 记为 $\Ho{\Top}$, 具体定义为:

  • $\Ob{\Ho{\Top}} \coloneqq \Ob{\Top}$;
  • $\Hom{\Ho{\Top}}{X}{Y} \coloneqq [X, Y]$;
  • $1_{\Ho{\Top}} \coloneqq \kappa(1_\Top)$;
  • $\Ho{\Top}$ 中的复合态射为 -$\Top$ 中的复合态射, 由 命题 1.5 保证了结合律.

其中于 $\Top$ 中的连续函数则可由函子 $\Top \overset{\kappa}{\to} \Ho{\Top}$ 映射为它所对应的同伦类, 即 $\Map{\kappa}{\Top(X, Y)}{[X, Y]}{f}{[f]}$.

定义 1.7 (同伦等价)

设 $X, Y \in \Top$, 若连续函数 $f : X \to Y$ 被称为是 同伦等价 (homotopy equivalence) 的, 或称 $X$ 与 $Y$ 有相同的 同伦型 (homotopy type), 当满足了:

  1. 存在逆连续函数 $g : Y \to X$;
  2. 使得有同伦 $f \circ g \Rightarrow \id_Y$ 以及 $g \circ f \Rightarrow \id_X$.

则记为 $X \overset{\simeq_h}{\to} Y$, 若存在一些 $X$ 与 $Y$ 之间的同伦等价则记为 $X \simeq_h Y$.

注释 (同伦等价为同伦范畴中的同构)

  • 事实上, 若给定一个 $\Top$ 中的连续函数 $f$ 是同伦等价的, 当且仅当函子 $\kappa$ 的像 $\kappa(f)$ 于 $\Ho{\Top}$ 中是同构.
  • $\Ho{\Top}$ 中的对象虽然亦是拓扑空间, 但通常被称为同伦型, 该范畴中的拓扑空间也许离真正的同胚还十分 "遥远", 但却可以拥有相同的同伦型.

例子 1.8 (同胚为同伦等价)

任意拓扑空间之间的同胚都是同伦等价的.

命题 1.9 (同伦等价构成等价关系)

设 $X, Y \in \Top$, 以及它们之间的一个同伦等价 $X \simeq_h Y$, 则 $\simeq_h$ 构成等价关系.

证明

分别证明:

  • 自反性 $\Forall{X \in \Top} X \simeq_h X$:

    由于有恒等连续函数 $\id_X : X \to X$, 而函子保有单位态射, 因此 $\kappa(\id_X) = \id_X : \End_{\Ho{\Top}}(X)$, 这显然是个同伦范畴中的同构关系.

  • 对称性 $\Forall{X, Y \in \Top} X \simeq_h Y \implies Y \simeq_h X$:

    由于 $X \simeq_h Y$ 意味着对于任意连续函数 $f : X \to Y$, 存在 $g : Y \to X$ 使得有同伦 $f \circ g \Rightarrow \id_Y$ 以及 $g \circ f \Rightarrow \id_X$, 因此对于连续函数 $g : Y \to X$, 则存在 $f : X \to Y$ 使得有同伦 $g \circ f \Rightarrow \id_X$ 以及 $f \circ g \Rightarrow \id_Y$.

  • 传递性 $\Forall{X, Y, Z \in \Top} (X \simeq_h Y) \and (Y \simeq_h Z) \implies X \simeq_h Z$:

    由于 $X \simeq_h Y$ 以及 $Y \simeq_h Z$ 意味着对于连续函数 $f : X \to Y$ 和 $g : Y \to Z$, 它们分别存在 $f' : Y \to X$ 以及 $g' : Z \to Y$ 使得有同伦: $$
    \begin{array}{cc}
    \eta_1 : f' \circ f \Rightarrow \id_X \qquad \eta_2 : f \circ f' \Rightarrow \id_Y \\
    \eta_3 : g' \circ g \Rightarrow \id_Y \qquad \eta_4 : g \circ g' \Rightarrow \id_Z
    \end{array}

    $$ 现在需证明对于 $h : X \overset{f}{\to} Y \overset{g}{\to} Z$, 则存在 $h' : Z \overset{g'}{\to} Y \overset{f'}{\to} X$ 使得 $h' \circ h = (f' \circ g') \circ (g \circ f) \Rightarrow \id_X$: $$

    \xymatrix{
    X \ar@{->}[r]^{f} \ar@{->}[d]_{{(\text{id}, \text{const}_0)}} & Y \ar@{->}[rd]^{g' \circ g} \ar@{->}[d]_{{(\text{id}, \text{const}_0)}} & & \\
    X \times I \ar@{->}[r]^{{(f, \text{id}_{I})}} & Y \times I \ar@{->}[r]^{\eta_3} & Y \ar@{->}[r]|-{f'} & X \\
    X \ar@{->}[u]^{{(\text{id}, \text{const}_1)}} \ar@{->}[r]_{f} & Y \ar@{->}[ru]_{\text{id}_Y} \ar@{->}[u]^{{(\text{id}, \text{const}_1)}} & &
    }

    $$ 显然其中只需取同伦的连续映射为 $f' \circ \eta_3 \circ (f, \id_{I}) : X \times I \to X$ 即可得证. 另一方面, 同伦 $h \circ h' \Rightarrow \id_Z$ 亦是类似的证明方式, 该处略过.

定义 1.10 (可缩拓扑空间)

对于任意 $X \in \Top$, 若 $X$ 被称为是 可缩的 (contractible) 当其存在唯一的连续函数映射至点空间上, 即 $X \overset{\simeq_h}{\to} *$, 并使得该映射是同伦等价的.

注释 (可缩拓扑空间为同伦范畴中的终对象)

显然, 若一个拓扑空间 $X$ 是可缩的当且仅当函子的像 $\kappa(X)$ 于同伦范畴中是终对象.

例子 1.11 (开/闭球以及欧氏空间均为可缩空间)

设 $B^n \sub \R^n$ 为 $n$ 维欧氏空间中的单位开/闭球, 则 $B^n$ 是可收缩的, 即 $B^n \overset{\simeq_h}{\to} *$.

证明
  • 若设有连续函数 $p : B^n \to *$, 则可定义它的一个映射至开/闭球原点的逆态射 $\const_0 : * \to B^n$, 使得 $p \circ \const_0 = \id_*$, 由 命题 1.3 得知同伦作为等价关系满足自反性, 因此有 $p \circ \const_0 = \id_* \Rightarrow \id_*$ 成立.
  • 另一方面, 由于 $\const_0 \circ p = \const_0 : \End_{\Ho{\Top}}(B^n)$, 而定义连续映射 $\Map{\eta}{B^n \times I}{B^n}{(x, t)}{t \cdot x}$ 则可证明它与 $\id_{B^n}$ 是同伦的, 因为 $\eta(-, 0) = \const_0$ 而 $\eta(-, 1) = \id_{B^n}$, 因此 $\const_0 \circ p \Rightarrow \id_{B^n}$ 成立.