群论中的特殊构造 - 群作用, 轨道与稳定化子

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前言

其中一种构造更为抽象的群的方式是由它在某集合上的作用所描述, 因此有必要引入关于此的讨论.

首先, 我们知道任意幺半群 $M$ 与仅有单对象的范畴是等价的, 准确的说, 我们有以下 消圈 (delooping), 即为从 $\mathrm{Mon}$ 到 $\mathrm{Cat}$ 的函子 (其中 $\text{Mon}$ 为所有幺半群的范畴, $\mathrm{Cat}$ 为所有 $1$-范畴 的范畴)： $$\begin{array}{rlrl}& & \mathrm{Mon}& \stackrel{B(-)}{\to }\mathrm{Cat}\\ \text{对象层面的映射:}& & M& \stackrel{\phantom{B(-)}}{\mapsto }BM:=\left[\begin{array}{rl}\phantom{\mathrm{Ob}}\mathrm{Ob}\phantom{\mathrm{Ob}}\left(BM\right)& :=\ast \\ \phantom{{\mathrm{Hom}}_{BM}}{\mathrm{Hom}}_{BM}\phantom{{\mathrm{Hom}}_{BM}}(\ast ,\ast )& :=\{\text{任意 }M\text{ 中元素}\}\\ \text{单位态射 }{1}_{BM}& :=M\text{ 的单位元}\\ \text{态射合成 }\circ & :=M\text{ 的二元运算 }\cdot \end{array}\right]\\ \text{态射层面的映射:}& & \left[M_1\stackrel{f}{\to }{M}_2\right]& \stackrel{\phantom{B(-)}}{\mapsto }\left[\begin{array}{rl}B{M}_1& \stackrel{Bf}{\to }B{M}_2\\ \ast & \mapsto \ast \\ [\ast \stackrel{m_1\in M_1}{\to }\ast ]& \mapsto [\ast \stackrel{m_2\in M_2}{\to }\ast ]\end{array}\right]\end{array}$$

事实上在 $B(-)$ 下, $M$ 与 $BM$ 是等价的. 类似地上述结论只要将替换为从群范畴 $\mathrm{Grp}$ 到群胚范畴 $\mathrm{Grpd}$ 的函子 (群胚即是其中的所有态射皆可逆的范畴), 则同样可得到任意群 $G$ 与单对象群胚 $BG$ 是等价的, 因此当我们研究幺半群 $M$ (或群 $G$) 于集合上的作用时, 可以转而考虑函子范畴 ${\mathrm{Set}}^{BM}$ (或 ${\mathrm{Set}}^{BG}$). 而于 ${\mathrm{Set}}^{BM}$ 下的任意态射皆为自然变换, 那么考虑以下资料：

• 函子 $F_1,F_2:BM\to \mathrm{Set}$ 及自然变换 $\eta :F_1\Rightarrow F_2$;
• 任意于 $BM$ 下的态射 $m:\ast \to \ast$ (即 $m\in M$);
• 令 $X:=F_1(\ast )$ 而 $Y:=F_2(\ast )$;

则可诱导出自然方块 $X{\eta }_{\ast }mYmX{\eta }_{\ast }Y$ 于 $\mathrm{Set}$ 中是交换的, 因此我们称：

• 上述交换图表中的构件 ${\eta }_{\ast }:X\to Y$ 为 等变映射 (equivariant function), 即它满足了 $\underset{\begin{array}{c}m\in M\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}x\in X\end{array}}{\mathrm{\forall }}m\cdot {\eta }_{\ast }(x)={\eta }_{\ast }(m\cdot x)$.
• 当然只要等变映射 $X\underset{g}{\stackrel{f}{\rightleftarrows }}Y$ 满足 $g\circ f=1_X$ 及 $f\circ g=1_Y$ 则可定义它们之间的同构.

现在只须使用 $2$-元组 编码等变映射中的条件, 例如视标准形 $m\cdot x$ 为映射 $\begin{array}{rl}M\times X& \stackrel{\alpha }{\to }X\\ (m,x)& \stackrel{\phantom{\alpha }}{\mapsto }m\cdot x\end{array}$ 下的像, 我们就称携带了 $M$-作用 $\alpha$ 的资料 $(X,\alpha )$ 为 $M$-集 ($M$-set). 而以 $M$-集 为对象, 等变映射为态射, 则可构成这些所有 $M$-集 的范畴, 记为 $M\text{-}\mathrm{Set}$. 最终则可建立起 $M\text{-}\mathrm{Set}$ 与 ${\mathrm{Set}}^{BM}$ 的范畴等价： $$\begin{array}{rlrl}& & {\mathrm{Set}}^{BM}& \stackrel{\sim }{\to }M\text{-}\mathrm{Set}\\ \text{对象层面的映射:}& & \left[BM\stackrel{\text{函子 }F}{\to }\mathrm{Set}\right]& \stackrel{\phantom{\sim }}{\mapsto }(X,\alpha )=(F(\ast ),\alpha )\\ \text{态射层面的映射:}& & \left[F_1\stackrel{\text{自然变换 }\eta }{\Rightarrow }{F}_2\right]& \stackrel{\phantom{\sim }}{\mapsto }[(X,{\alpha }_1)\stackrel{\text{等变映射 }{\eta }_{\ast }}{\to }(Y,{\alpha }_2)]\end{array}$$ 综上所述, 我们得到了幺半群/群作用于范畴化后的剖析, 遂自然地引出以下定义.

1. 幺半群作用与群作用

定义 1.1 (幺半群作用)

设 $X$ 为集合而 $M$ 为幺半群：

• 称映射 $\begin{array}{rl}M\times X& \stackrel{\alpha }{\to }X\\ (m,x)& \stackrel{\phantom{\alpha }}{\mapsto }m\cdot x\end{array}$ 为 $M$ 于 $X$ 上的 左作用 (left-action), 当满足了下述条件：

  • 单位元左作用：单位元 $1\in M$ 的左作用是恒同映射, 即 $\underset{\begin{array}{c}x\in X\end{array}}{\mathrm{\forall }}1\cdot x=x$;
  • 左结合律：$\underset{\begin{array}{c}{m}_1,m_2\in M\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}x\in X\end{array}}{\mathrm{\forall }}(m_2{m}_1)\cdot x=m_2\cdot (m_1\cdot x)$.

  而若满足 $\underset{\begin{array}{c}m\in M\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}x\in X\end{array}}{\mathrm{\forall }}\alpha (m,x)=x$ 的作用则称为 平凡左作用 (trivial left-action).

• 称映射 $\begin{array}{rl}X\times M& \stackrel{\alpha }{\to }X\\ (x,m)& \stackrel{\phantom{\alpha }}{\mapsto }x\cdot m\end{array}$ 为 $M$ 于 $X$ 上的 右作用 (right-action), 当满足了下述条件：

  • 单位元右作用：单位元 $1\in M$ 的右作用是恒同映射, 即 $\underset{\begin{array}{c}x\in X\end{array}}{\mathrm{\forall }}x\cdot 1=x$;
  • 右结合律：$\underset{\begin{array}{c}{m}_1,m_2\in M\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}x\in X\end{array}}{\mathrm{\forall }}x\cdot (m_1{m}_2)=(x\cdot m_1)\cdot m_2$.

  而若满足 $\underset{\begin{array}{c}m\in M\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}x\in X\end{array}}{\mathrm{\forall }}\alpha (x,m)=x$ 的作用则称为 平凡右作用 (trivial right-action).

注释

• 编码为标准形之前, 左作用的条件是以下这样子的 (右作用亦然)：
  • 单位元左作用：$\underset{\begin{array}{c}x\in X\end{array}}{\mathrm{\forall }}\alpha (1,x)=x$;
  • 左结合律：$\underset{\begin{array}{c}{m}_1,m_2\in M\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}x\in X\end{array}}{\mathrm{\forall }}\alpha (m_2{m}_1,x)=\alpha (m_2,\alpha (m_1,x))$.
• 严格地说, 由于 $BM$ 的态射集为集合 $M$, 因此其为 $\mathcal{U}$-小范畴, 同理我们应该限制 $M\text{-}\mathrm{Set}$ 到宇宙 $\mathcal{U}$ 里.
• 注意到所有 $M$ 的左作用的范畴是 $M\text{-}\mathrm{Set}$, 而 $M$ 的右作用于范畴论的观点下无非就是反幺半群 $M^{\mathrm{op}}$ 下的左作用, 即 $M^{\mathrm{op}}\text{-}\mathrm{Set}={\mathrm{Set}}^{B(M^{\mathrm{op}})}$.
• 只要将上述的幺半群 $M$ 全部替换为 $G$, 则得到了群作用的概念, 不再重复定义.

例子 1.2 (基本的例子)

• 对任意集合 $X$, 对称群 $S_X$ 作用于 $X$ 上, 即 $\begin{array}{rl}{S}_X\times X& \stackrel{\alpha }{\to }X\\ (\sigma ,x)& \stackrel{\phantom{\alpha }}{\mapsto }\sigma (x)\end{array}$, 这是最为经典的例子.

• 将二面体群 $D_{2n}$ 作用于平面上的正 $n$ 边形我们可以描述关于它的刚体运动, 例如顺时针旋转与镜面翻转.

• $n\times n$ 实矩阵所构成的幺半群 $M_n(\mathbb{R})$ 作用于 ${\mathbb{R}}^n$ 上, 我们视 ${\mathbb{R}}^n$ 的元素为 $n\times 1$ 矩阵, 作用 $\begin{array}{rl}{M}_n(\mathbb{R})\times {\mathbb{R}}^n& \stackrel{\alpha }{\to }{\mathbb{R}}^n\\ (A,x)& \stackrel{\phantom{\alpha }}{\mapsto }Ax\end{array}$ 无非就是矩阵乘法.

• 若群 $G$ 左作用于 $X$, 且 $Y$ 是任意集合, 那么 $G$ 在 $\left\{X\stackrel{\text{映射 }f}{\to }Y\right\}$ 上亦有自然的左作用 $\begin{array}{rl}G\times \phantom{{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Set}}}{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Set}}\phantom{{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Set}}}(X,Y)& \stackrel{\alpha }{\to }\phantom{{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Set}}}{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Set}}\phantom{{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Set}}}(X,Y)\\ (g,f)& \stackrel{\phantom{\alpha }}{\mapsto }[x\mapsto f(g^{-1}x)]\end{array}$;

  同样地若 $G$ 右作用于 $X$, 则相应的左作用可以取为 $\begin{array}{rl}\phantom{{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Set}}}{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Set}}\phantom{{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Set}}}(X,Y)\times G& \stackrel{\alpha }{\to }\phantom{{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Set}}}{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Set}}\phantom{{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{Set}}}(X,Y)\\ (f,g)& \stackrel{\phantom{\alpha }}{\mapsto }[x\mapsto f(xg)]\end{array}$.

例子 1.3 ($G$-模)

设 $G$ 是群, 我们甚至是可以作用在一个阿贝尔群 $A$ 上, 例如定义 $\begin{array}{rl}G\times A& \stackrel{\phi }{\to }A\\ (g,x)& \stackrel{\phantom{\phi }}{\mapsto }g\cdot x\end{array}$, 那么称资料 $(M,\phi )$ 为 左 $G$-模 ($G$-module) 当其满足以下条件：

• 单位元左作用：单位元 $1\in G$ 的左作用是恒同映射, 即 $\underset{\begin{array}{c}x\in A\end{array}}{\mathrm{\forall }}1\cdot x=x$;
• 左结合律：$\underset{\begin{array}{c}{g}_1,g_2\in G\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}x\in A\end{array}}{\mathrm{\forall }}(g_2{g}_1)\cdot x=g_2\cdot (g_1\cdot x)$;
• 左分配律：$\underset{\begin{array}{c}g\in G\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}{x}_1,x_2\in A\end{array}}{\mathrm{\forall }}g(x_1+x_2)=g{x}_1+g{x}_2$.

注释 (作用于范畴中的对象)

群作用的定义可被推广至范畴论中, 考虑任意带有积与终对象 $\ast$ 的范畴 $\mathcal{C}$, 我们当然可以讨论 $\mathcal{C}$ 中的群对象 $G$ (或幺半群对象 $M$) 作用于任意对象 $X\in \phantom{\mathrm{Ob}}\mathrm{Ob}\phantom{\mathrm{Ob}}\left(\mathcal{C}\right)$. 而在这个视角下, 只要取 $\mathcal{C}=\mathrm{Set}$ 则得到上面常规定义的群作用 (或幺半群作用).

2. 轨道与稳定化子

定义 2.1 (不动点, 轨道与稳定化子)

设 $M$ 为幺半群作用于集合 $X$, 则：

• 定义 不动点集 (fixed point set) 为 $X^M:=\{x\in X:\underset{\begin{array}{c}m\in M\end{array}}{\mathrm{\forall }}mx=x\}\subset X$;
• 特别地如果被某一个 $m$ 所固定的不动点集则定义为 $X_m:=\{x\in X:mx=x\}\subset X^M$;
• 对任意 $x\in X$, 称集合 $Mx:=\{mx:m\in M\}$ 为 轨道 (orbit), 或记为 ${\mathrm{Orb}}_M(x)$, 且称 $x$ 为该轨道的代表元, 而 $Mx$ 是 $X$ 的 $M$-子集;
• 称 $M$ 中的子幺半群 ${\mathrm{Stab}}_M(x):=\{m\in M:mx=x\}$ 为 $M$ 的 稳定化子 (stabilizer) 或 稳定子幺半群 (stability submonoid).

例子 2.2 (置换群作用于有限集)

举例而言, 考虑有限集 $X=\{1,2,3,4,5,6\}$ 及作用于 $X$ 上的置换群 $G=\{1_G,(12)(3456),(35)(46),(12)(3654)\}\simeq {\mathbb{Z}}_4$, 则：

• $G$ 中所有置换的不动点集分别为： $$X_1=X,X_{(35)(46)}=\{1,2\},X_{(12)(3456)}=X_{(12)(3654)}=\mathrm{\varnothing }$$ 由此见得在不动点集 $X_{\sigma \in G}$ 中的元素都是没有被置换 $\sigma$ 所移动过的.

• $X_G$ 显然为空, 因为已经存在一些置换, 例如 $(12)(3456)$ 与 $(12)(3654)$ 移动了所有 $X$ 中的元素.

• $X$ 的轨道只有两个, 它们分别为： $$\begin{array}{c}G1=G2=\{1,2\}\\ G3=G4=G5=G6=\{3,4,5,6\}\end{array}$$ 这事实上是在每一个轨道 $Gx$ 上, 将 $G$ 中所有元素作用于代表元 $x$ 并消除重复项后的结果.

• $G$ 中所有置换的稳定化子分别为： $$\begin{array}{c}{\mathrm{Stab}}_G(1)={\mathrm{Stab}}_G(2)=\{1_G,(35)(46)\}\\ {\mathrm{Stab}}_G(3)={\mathrm{Stab}}_G(4)={\mathrm{Stab}}_G(5)={\mathrm{Stab}}_G(6)=\{1_G\}\end{array}$$ 可见稳定化子的含义是稳定 (或固定) 住某些 $X$ 中元素的置换 $\sigma \in G$, 例如上述的 $1_G$ 与 $(35)(46)$ 作用于元素 $1,2$ 上皆不会使其的结果发生改变, 不过除了 $1_G$ 以外, 其余 $X$ 中的元素在经过 $(35)(46)$, $(12)(3456)$ 与 $(12)(3654)$ 置换后皆会发生改变, 因此这些置换对于元素 $3,4,5,6$ 而言表现得相当不稳定, 所以这些元素的稳定化子中就只剩下恒同置换 $1_G$.

引理 2.3 (轨道分解)

设群 $G$ 作用于 $X$ 上, 则有：

1. 轨道分解：$X={\displaystyle \underset{x\in X}{⨆}Gx}$, 其中对每个轨道选定 $x\in X$ 为代表元;
2. 稳定化子作商后同构于轨道：任意 $x\in X$, 映射 $\begin{array}{rl}G/{\mathrm{Stab}}_G(x)& \stackrel{\phi }{\to }Gx\\ g\cdot {\mathrm{Stab}}_G(x)& \stackrel{\phantom{\phi }}{\mapsto }gx\end{array}$ 为 $G$-集 间的同构;
3. 基数公式：$|X|={\displaystyle \sum _{x\in X}[G:{\mathrm{Stab}}_G(x)]}$;
4. 稳定化子的共轭性质：$\underset{\begin{array}{c}x\in X\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}g\in G\end{array}}{\mathrm{\forall }}{\mathrm{Stab}}_G(gx)=g{\mathrm{Stab}}_G(x)g^{-1}$.

证明

1. 为了证明 $X$ 可被分解为多个轨道之间的不交并, 我们可以分别验证：

   • 当 $Gx\cap Gy$ 时有 $Gx=Gy$：

     显然当 $Gx,Gy$ 有交时 $Gx\ni gx=g^{\prime }y\in Gy$ 成立, 两侧同时左乘 $g^{-1}$ 则有 $x=g^{-1}{g}^{\prime }y\in Gy$, 故有 $Gx\subset Gy$, 再由对称性我们就有 $Gx=Gy$.

   • 对任意一个代表元 $x\in X$, 它都能够得到不同的轨道 $Gx$：

     由于这些任意的代表元 $x=1\cdot x\in Gx$.

2. 分别验证以下几件事：

   • $\phi$ 良定且单射, 即应有 $\underset{\begin{array}{c}{g}_1,g_2\in G\end{array}}{\mathrm{\forall }}{g}_1{\mathrm{Stab}}_G(x)=g_2{\mathrm{Stab}}_G(x)⟺\phi (g_1{\mathrm{Stab}}_G(x))=\phi (g_2{\mathrm{Stab}}_G(x))$：

     由于陪集是相等的, 那么即有 $g_2^{-1}{g}_1\in {\mathrm{Stab}}_G(x)$, 那么由稳定化子的定义当且仅当 $g_2^{-1}{g}_{1}x=x$, 该条件又当且仅当 $g_{1}x=g_{2}x$, 那么则有： $$\phi (g_1{\mathrm{Stab}}_G(x))=g_{1}x=g_{2}x=\phi (g_2{\mathrm{Stab}}_G(x))$$

   • $\phi$ 为等变映射, 即应有 $\underset{\begin{array}{c}g,g^{\prime }\in G\end{array}}{\mathrm{\forall }}g\cdot \phi (g^{\prime }{\mathrm{Stab}}_G(x))=\phi (g\cdot g^{\prime }{\mathrm{Stab}}_G(x))$： $$g\cdot \phi (g^{\prime }{\mathrm{Stab}}_G(x))=g\cdot (g^{\prime }x)\stackrel{\text{左作用结合律}}{=}(g{g}^{\prime })\cdot x=\phi (g\cdot g^{\prime }{\mathrm{Stab}}_G(x))$$

   • $\phi$ 为满射, 这是显然的, 因为由定义, 对于任何轨道中的元素 $gx$, 都被陪集 $g\cdot {\mathrm{Stab}}_G(x)$ 中代表元唯一地确定.

3. 基数公式是 $(1)$ 的直接推论.

4. 由于 $g^{\prime }\in {\mathrm{Stab}}_G(gx)$ 当且仅当满足了 $g^{\prime }(gx)=x$, 而该条件通过左作用的结合律及等式两侧左乘 $g^{-1}$ 后可得 $(g^{-1}{g}^{\prime }g)x=x$, 显然此时取 $g^{\prime }=g{g}^{\prime }{g}^{-1}$ 时可得到 $g^{\prime }x=x$, 且 $g{g}^{\prime }{g}^{-1}\in g{\mathrm{Stab}}_G(x)g^{-1}$ 则可证得命题.

注释 (轨道空间与置换表示)

• 注意到 "$x,y\in X$ 同属一个轨道", 给出 $X$ 上的等价关系 $\sim$, 称相应的商集 $X/\sim$ 为 轨道空间 (orbit space), 记为 $G\mathrm{\setminus }X$ (右作用则记为 $X/G$);
• 将集合 $\left\{X\stackrel{\text{双射}}{\to }X\right\}$ 连同双射间的合成可将该集合视为对称群 $S_X$ (或 $X$ 的自同构群 $\mathrm{Aut}(X)$), 因此群 $G$ 在 $X$ 上的作用相当于给定同态 $\begin{array}{rl}G& \to S_X=\mathrm{Aut}(X)\\ g& \mapsto [x\mapsto gx]\end{array}$, 称之为群 $G$ 的 置换表示 (permutation representation).

定义 2.4 (忠实, 自由与传递作用)

设 $G$ 为群, $X$ 为 $G$-集, 称 $G$ 在 $X$ 上的作用是：

• 忠实的 (faithful)：若 $G\to S_X$ 是单射, 这相当于 ${\displaystyle \bigcap _{x\in X}{\mathrm{Stab}}_G(x)=\{1_G\}}$;
• 自由的 (free) 或 单的 (injective)：若 $\underset{\begin{array}{c}x\in X\end{array}}{\mathrm{\forall }}{\mathrm{Stab}}_G(x)=\{1_G\}$;
• 传递的 (transitive)：若 $X$ 仅有一个轨道 ($\underset{\begin{array}{c}x\in X\end{array}}{\mathrm{\forall }}X=Gx$), 相当于要求 $X$ 非空, 且 $\underset{\begin{array}{c}x,y\in X\end{array}}{\mathrm{\forall }}\underset{\begin{array}{c}g\in G\end{array}}{\mathrm{\exists }}gx=y$;

注释 (广义的传递性与齐性空间)

• 传递性的定义告诉我们, 只须给定任意一个元素 $x\in X$, 我们都可以将该元素通过作用 $g$ 传递至 $X$ 中任意的其他元素 $y$;
• 当存在作用 $\begin{array}{rl}G& \stackrel{\alpha }{\to }{S}_{X^{\underset{―}{n}}}(X^{\underset{―}{n}}\to X^{\underset{―}{n}})\\ g& \stackrel{\phantom{\alpha }}{\mapsto }[(x_1,\cdots ,x_n)\mapsto (g{x}_1,\cdots ,g{x}_n)]\end{array}$ 其中 $X^{\underset{―}{n}}:=\{(x_1,\cdots ,x_n):\underset{\begin{array}{c}1\le i,j\le n\end{array}}{\mathrm{\forall }}{x}_i\ne x_j\}$, 我们可以推广传递作用的定义, 称其是 $n$-传递的;
• 传递的 $G$-集 $X^{\underset{―}{n}}$ 又称为 $G$-齐性空间 (homogeneous space), 而自由的 $G$-齐性空间又称为 $G$-主齐性空间 (principal homogeneous space) 或 挠子 (torsor).

例子 2.5 (平移作用与陪集)

设有群 $G$ 以及它的子群 $H$, 我们有 $H$ 在 $G$ 上的作用 $\begin{array}{rl}H\times G& \to G\\ (h,g)& \mapsto hg\end{array}$, 称之为 左平移作用 (left shift action), 而对 $G$ 轨道分解后可得下述结论：

• $G$ 的轨道无非就是右陪集 $Hg$ (如若有右平移作用 $\begin{array}{rl}G\times H& \to G\\ (g,h)& \mapsto gh\end{array}$ 则它的轨道为左陪集 $gH$).
• 由轨道所给出的轨道空间其实就是右陪集空间 $H\mathrm{\setminus }G$ (同样地右平移作用为左陪集空间).
• 它是自由的, 因为对任意的 $g\in G$, 只有当 $1_H\in H$ 作用于 $g$ 时才可使得自身不变, 而其他 $H$ 中的元素作用到 $g$ 后都将平移, 因此 ${\mathrm{Stab}}_H(g)=\{1\}$.
• 它是传递的, 当且仅当 $G=H$.

设有子群 $H,K\le G$, 同样地双陪集也有类似解读, 例如 $H\times K^{\mathrm{op}}$ 在 $G$ 上的左作用就形同 $\begin{array}{rl}H\times K^{\mathrm{op}}& \to G\\ (h,k)& \mapsto hgk\end{array}$, 那么相应的轨道则是 $HgK$ 而轨道空间无非就是 $H\mathrm{\setminus }G/K$.

例子 2.6 (共轭作用, 正规化子, 群的中心与中心化子)

设 $G$ 为群：

• 考虑作用 $\begin{array}{rl}G\times \mathcal{P}(G)& \to \mathcal{P}(G)\\ (g,E)& \mapsto gE{g}^{-1}\end{array}$, 称该作用下的稳定化子 (亦为 $G$ 的子群) $N_G(E):=\{g\in G:gE{g}^{-1}=E\}$ 为 正规化子 (normalizer).
• 称 (左) 作用 $\begin{array}{rl}G\times G& \stackrel{\mathrm{Ad}}{\to }G\\ (g,x)& \stackrel{\phantom{\mathrm{Ad}}}{\mapsto }gx{g}^{-1}\end{array}$ 为 共轭作用 (conjugation action), 通过置换表示则给出了伴随自同构 $\begin{array}{rl}G& \stackrel{\mathrm{Ad}}{\to }\mathrm{Aut}(G)\\ g& \stackrel{\phantom{\mathrm{Ad}}}{\mapsto }[x\mapsto gx{g}^{-1}]\end{array}$, 并且：
  • 共轭作用 $\mathrm{Ad}$ 的核为 $\phantom{\mathrm{Ker}}\mathrm{Ker}\phantom{\mathrm{Ker}}\left(\mathrm{Ad}\right)=\{g\in G:\left(\begin{array}{rl}G& \stackrel{\mathrm{Ad}(g)}{\to }G\\ x& \stackrel{\phantom{\mathrm{Ad}(g)}}{\mapsto }gx{g}^{-1}\end{array}\right)=1_{\mathrm{Aut}(G)}\}\le G$, 由于条件中的 $\mathrm{Ad}(g)$ 为恒同映射 $1_{\mathrm{Aut}(G)}$, 我们将映射改为等号, 因此 $\phantom{\mathrm{Ker}}\mathrm{Ker}\phantom{\mathrm{Ker}}\left(\mathrm{Ad}\right)=\{g\in G:\underset{\begin{array}{c}x\in G\end{array}}{\mathrm{\forall }}gx{g}^{-1}=x\}=\{g\in G:\underset{\begin{array}{c}x\in G\end{array}}{\mathrm{\forall }}gx=xg\}$, 它恰好为共轭作用下的稳定化子, 称之为群 $G$ 的 中心 (center), 记为 $Z(G)$;
  • $Z(G)$ 既是交换群亦是 $G$ 的正规子群.
• 推而广之, 考虑放宽共轭作用中被作用的群 $G$ 为任意子集 $E\subset G$, 则可将 $\mathrm{Ad}$ 推广为 $\begin{array}{rl}{N}_G(E)\times E& \stackrel{\mathrm{Ad}}{\to }E\\ (g,x)& \stackrel{\phantom{\mathrm{Ad}}}{\mapsto }gx{g}^{-1}\end{array}$, 而它的稳定化子就是群 $G$ 的 中心化子 (centralizer), 记为 $C_G(E)$. 因此 $C_G(G)=Z(G)$.
• 最后我们有子群的关系链 $C_G(E)⊲N_G(E)\le G$, 因此 $C_G(G)=Z(G)⊲N_G(G)$.

例子 2.7 (挠子与双挠子)

设 $G_1,G_2$ 为群以及非空集 $\mathrm{Iso}(G_1,G_2):=\left\{G_1\stackrel{\text{同构 }\phi }{\to }{G}_2\right\}$：

• 当 $\mathrm{Aut}(G_2)$ 左作用于 $\mathrm{Iso}(G_1,G_2)$ 时有 $\begin{array}{rl}\mathrm{Aut}(G_2)\times \mathrm{Iso}(G_1,G_2)& \to \mathrm{Iso}(G_1,G_2)\\ (g,\phi )& \mapsto g\circ \phi \end{array}$, 因此 $\mathrm{Iso}(G_1,G_2)$ 为 $\mathrm{Aut}(G_2)$-挠子 (自由且传递的 $G$-集);

• 同样地, $\mathrm{Aut}(G_1)$ 右作用于 $\mathrm{Iso}(G_1,G_2)$ 时有 $\begin{array}{rl}\mathrm{Iso}(G_1,G_2)\times \mathrm{Aut}(G_1)& \to \mathrm{Iso}(G_1,G_2)\\ (\phi ,g^{\prime })& \mapsto \phi \circ g^{\prime }\end{array}$, 因此 $\mathrm{Iso}(G_1,G_2)$ 为 $\mathrm{Aut}(G_1)$-挠子;

• 而同时结合上述的左/右作用则满足 $(g\circ \phi )\circ g^{\prime }=g\circ (\phi \circ g^{\prime })$, 因此又有 $\mathrm{Aut}(G_1{)}^{\mathrm{op}}\times \mathrm{Aut}(G_2)$-作用, 由该作用给出的作用集 $\mathrm{Iso}(G_1,G_2)$ 又称为 双挠子 (bitorsor).

  上述的构造不仅仅局限于 $\mathrm{Grp}$ 范畴, 挠子的定义可推广至任意范畴上, 并且于范畴论的框架下挠子有一个更为简洁的叙述方式：

  设有左作用 $\alpha :G\times X\to X$, 那么 $X$ 为挠子当且仅当映射 $\begin{array}{rl}G\times X& \stackrel{\mathrm{\Phi }}{\to }X\times X\\ (g,x)& \stackrel{\phantom{\mathrm{\Phi }}}{\mapsto }(\alpha (g)(x),x)\end{array}$ 为双射.

  显然当 $X$ 为挠子时, $\alpha$ 的自由性当且仅当 $\mathrm{\Phi }$ 为单射, 同样地 $\alpha$ 传递当且仅当 $\mathrm{\Phi }$ 是满的.