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代数拓扑 1 - 奇异同调

2022-11-25

本文存在部分内容尚未完全施工完毕, 作者将尽快更新!

参考资料 & 教材

  • [NTU] Algebraic Topology - Chen-Yu Chi:台大齐震宇教授的代数拓扑公开课;
  • Introduction to Homological Algebra - nLab:同调代数的入门教程;
  • Introduction to Topology - 2 - nLab:同伦论的入门教程.
  • An introduction to algebraic topology - Joseph J. Rotman:Rotman 的代数拓扑教材.

前置需求

本笔记已省去一些基础的定义以及具体细节, 以跟上课堂进度, 省略的基础定义包括但不限于:

  • 范畴论 (category theory):范畴, 函子, 自然变换, 同构, 自然同构等的基础定义与性质;
  • 拓扑学 (topology theory):拓扑空间, 开闭集, 连续映射, 同胚, 开球闭球, $\R^n$ 等的基本定义与性质;
  • 群论 (group theory):群, 自由群, 阿贝尔群, 群同态, 陪集, 商群等的基本定义与性质.

记号

为了方便或直观, 这里会使用一些记号:

  • 文本描述上的映射 $f$ 通常被记为 $f : X \to Y$, 于复合情况下则记为 $g \circ f$ 或 $X \overset{f}{\to} Y \overset{g}{\to} Z$.
  • 自然数集 $\N \coloneqq \N^0 = \set{ 0, 1, 2, \dots }$, 而不含 $0$ 的自然数集则记为 $\N^\times \coloneqq \N^1 = \set{1, 2, \dots}$;
  • 设有范畴 $\mathcal{C}$ 及 $\mathcal{C}$ 中的对象 $X$, 称 $X$ 属于 $\mathcal{C}$ 将被记为 $X \in \mathcal{C}$ 而非 $X \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})$;
  • 设有范畴 $\mathcal{C}$ 及 $\mathcal{C}$ 中的态射 $f$, 称 $f$ 属于 $\mathcal{C}$ 将被记为 $f \in \operatorname{Mor}(\mathcal{C})$;
  • 设有范畴 $\mathcal{C}$ 及 $X \in \mathcal{C}$, 若有 $f : X \to Y$ 以及 $x \in X$, 则态射的具体映射方式被记为 $\begin{align} X & \overset{f}{\to} Z \\ x & \mapsto f(x) \end{align}$.
  • 设有范畴 $\mathcal{C}$ 及 $X, Y, Z \in \mathcal{C}$, 若有 $f : X \to Y$ 和 $g : Y \to Z$, 则复合态射 $h = g \circ f$ 连带其态射集被记为 $\begin{align} X & \overset{h}{\to} Z \\ g & \circ f \end{align}$.

0. 前置介绍与基础定义

动机

代数拓扑很大程度上所研究的课题是关于 拓扑不变量 (topological invariants) 在抽象的空间 (例如拓扑空间) 上的一些性质, 而拓扑不变量是指在双向连续映射 (不一定是同胚) 下所保持的一些不变量. 例如我们现在考虑所有拓扑空间构成的范畴 $\operatorname{Top}$, 从中抽出任意的拓扑空间 $X \in \operatorname{Top}$, 由于直接在拓扑空间中研究一些抽象的性质是比较困难的事情, 我们希望 "代数化" 地探讨关于 $X$ 上的一些性质, 那么便可以与由代数结构所构成的范畴建立函子关系, 即如阿贝尔群范畴, 那么便能建立映射 $\begin{align} \operatorname{Top} & \to \operatorname{Ab} \\ X & \mapsto G(X) \end{align}$, 那么当然我们所研究的不仅仅只有对象之间的映射, 还要探讨关于连续映射到群同态之间的映射关系, 使得实际上我们能构造出以下满足同态性的交换图: $$
% https://darknmt.github.io/res/xypic-editor/#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
\xymatrix{
\operatorname{Top} \[email protected]{->}[d] & X \[email protected]{->}[r]^{f} \[email protected]{->}[d] & Y \[email protected]{->}[d] \\
\operatorname{Ab} & G(X) \[email protected]{->}[r]_{G(f)} & G(Y)
}
$$ 其中 $X, Y \in \operatorname{Top}$, $f$ 为他们之间的连续映射, 而 $G(X), G(Y) \in \operatorname{Abel}$, 他们之间的群同态为 $G(f)$, 很自然地就引出了函子的概念, 而该函子通常被称为从拓扑空间范畴到阿贝尔群范畴的 同调函子 (homology functor).

例子 1.0.1 (拓扑空间中的边缘)

image-20221121131416259

透过对拓扑空间的 "代数化", 我们能够得出许多好处, 例如我们考虑一个在拓扑空间上从端点 $A$ 到 $B$ 的线段 $\gamma$, 那么这个线段 (或称为 面 (face)) 的 边界 (boundary) 显然便是点 $A$ 以及 $B$, 现在再令该线段是带有 "方向" 的, 例如是从出发点 $A$ 到终点 $B$, 则该线段的边界为 $-A, + B$.

而当我们进一步考虑可能这已经是个复杂的三维形状 $S$ 时, 例如一个带有两个 亏格 (genus)环面 (torus) (亏格即 "洞"), 并且在旁边切出一个截面使得 $S$ 的边界就是围着该截面的一个有向的环状边缘 $+C$. 那么现在问题是 $+C$ 能够拥有边界吗?从上图的可视化中显然我们看到 $+C$ 并没有包含任何端点, 亦即是说其边界数量为 $0$, 就意味着连续接着两次求边缘的态射, 将他们复合起来后所得到的是 $0$, 将该概念加以推广并代数化后便是所谓的 边缘算子 (boundary operator) 以及 链复形 (chain complex) 中的概念了.

注释 (同伦论的发展动机)

由于我们讨论连续性时通常都是研究拓扑空间之间的连续映射, 那么现在我们不仅仅研究两个空间之间的连续映射, 例如可以考虑连续映射本身的 连续形变 (continuous deformation), 该概念就被称之为 同伦 (homotopy), 而研究关于同伦关系的理论便是 同伦论 (homotopy theory). 特别要注意的是, 同伦类似于同胚, 事实上其亦构成拓扑空间上的一种等价关系, 其所构成的等价类被称为 同伦类 (homotopy classes).

而代数化后, 类似于上述从的函子 $\operatorname{Top} \to \operatorname{Abel}$, 我们当然亦可再稍微把条件放宽一些构造出到群范畴的函子, 即 $\operatorname{Top} \to \operatorname{Grp}$, 该处会产生一个叫作 弱同伦等价 (weak homotopy equivalence) 的 "等价关系", 详细的描述与定义将于下面章节提及.

注释 (同调代数的发展动机)

由于上面已经提及到弱同伦等价并不是完全的等价关系, 因为其虽满足自反性以及传递性, 但却不满足对称性 (可交换性, 或阿贝尔性), 那么同调代数出现的目的便是为了让弱同伦等价能够交换 而对其进行 阿贝尔化 (abelianization), 该处便引入了大量关于范畴化的概念, 是范畴论的起源, 亦是 交换图 (commutative diagram) 一词的根源.

注释

以下是一些基础的, 需要使用到的基础定义, 不再详细阐述.

定义 1.0.1 (拓扑空间, 开集)

设 $X$​​​​ 为非空集, $X$​​ 的一个子集族 $\tau$​​ 被称为 $X$​​ 的一个 拓扑 (topology),若其满足 拓扑公理 (topological axioms)

  1. $X, \empty \in \tau$;
  2. $\tau$​ 中任意多个成员的并集仍在 $\tau$​ 中;
  3. $\tau$ 中有限多个成员的交集仍在 $\tau$​ 中 $\iff$ $\tau$ 中任二成员的交仍在 $\tau$ 中.

则 $(X, \tau)$ 被称为是 拓扑空间 (topological space), 一般可简记为 $X$, 而 $\tau$​ 中的成员称为该拓扑空间的 开集 (open sets).

定义 1.0.2 (子空间拓扑)

设有拓扑空间 $X, Y$, 若 $Y \hookrightarrow X$ 是拓扑空间中基础集之间的包含映射, 并且 $\set{U_i \sub X}_{i \in I}$ 是 $X$ 中的拓扑, 则 $Y$ 中的 子空间拓扑 (subspace topology) 被定义为 $\set{ U_i \cap Y \sub Y }_{i \in I}$.

定义 1.0.3 (连续映射)

设 $X, Y$ 为拓扑空间, 映射 $f : X \to Y$, 若 $Y$ 中任意开集 $U$ 的原像 $f^{-1}(U)$ 是 $X$ 中的一个开集, 则称 $f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的 连续映射 (continuous maps), 或称 $f$ 连续 ($f$ is continuous).

定义 1.0.4 (同胚映射)

设 $X, Y$ 为拓扑空间, 若 $f : X \to Y$ 是一个双射映射, 并且 $f, f^{-1}$ 都是连续的, 则:

  • 称 $f$ 为一个 同胚映射 / 同胚 / 拓扑同构 (homeomorphism / topological isomorphism).
  • 称拓扑空间 $X$ 与 $Y$ 是 同胚的 (homeomorphic), 或称 $X$ 同胚于 $Y$.

定义 1.0.5 (系数与形式线性组合)

  • 设有任意集合 $S$, 若称映射 $a : S \to \Z$ 为 $S$ 的 形式线性组合 (formal linear combination), 其于映射后使得仅有限个 $a_s \in \Z$ 不为 $0$.

  • 若确定其中的元素 $s \in S$ 使得 $a_s = 1 \in \Z$ 而其余的元素映射至 $0$, 使得被记为: $$
    a = \sum_{s \in S} a_s \cdot s.
    $$ 且该表达式中的 $a_s \in \Z$ 被称为是 $s$ 于该线性组合上的 系数 (coefficient).

定义 1.0.6 (形式线性组合群)

设有任意集合 $S$, 所有 $S$ 的形式线性组合以及 $\Z$ 上的加法运算构成自由阿贝尔群, 称为 形式线性组合群 (group of linear combinations), 记为 $\Z[S]$.

命题 1.0.8 ($\Z[S] \cong \bigoplus_{s \in S} \Z$)

命题 1.0.9 ($\Z[S \times T] \cong \Z[S] \oplus \Z[T]$)

1. 奇异同调群

定义 1.1.1 (标准单纯形)

设有 $k \in \N$, 定义 $k$ 维标准单纯形 / $k$ 维单纯形 (topological $k$-simplex) 为 $\R^{k+1}$ 下的一个子集: $$
\Delta^k \coloneqq \Set{ \vec x \in \R^{k+1} : \left(\sum_{i = 0}^k x_i = 1 \right) \and \left( \forall i, x_i \geq 0 \right) } \sub \R^{k+1}
$$ 并且其上的拓扑是由 $\R^{k+1}$ 的标准拓扑所诱导出的子空间拓扑.

例子 1.1.2 (点, 标准区间, 填充三角形, 填充四面体)

现在假设有 $\Delta^k$, 若我们分别取 $k \in \N$ 为以下不同数值:

  • 若 $k = 0$, 即 $\Delta^0 = *$, 则 $0$ 维单纯形表象如同一个 点 (point);
  • 若 $k = 1$, 即 $\Delta^1 = [0, 1]$, 则表现如同一个 标准区间 (standard interval) $[0,1]$;
  • 若 $k = 2$, 即 $\Delta^2$ 表现如同一个 填充三角形 (filled triangle);
  • 若 $k = 3$, 即 $\Delta^3$ 表现如同一个 填充四面体 (tetrahedron).

而 $0$ 至 $3$ 维单纯形的具体几何呈现可观察下图:

image-20221122082920566

事实上从上图又可观察到 $\Delta^k$ 实际上有 $k+1$ 个边界, 并且 $\Delta^k$ 又是作为 $\Delta^{k+1}$ 的边界而存在的, 因此我们可将 $\Delta^k$ 嵌入 到 $\Delta^{k+1}$ 中, 反之又可将 $\Delta^{k+1}$ 退化为 $\Delta^k$, 那么便可考虑建立包含以及退化映射, 即下述定义.

定义 1.1.3 (第 $i$ 面的包含映射)

设有 $k \in \N^\times$ 以及 $0 \leq i \leq k$, 则称 $\ell_i$ 为 $k$ 维单纯形的 第 $i$ 面的包含映射 ($i$-th face inclusion), 并定义为: $$
\begin{align}
\Delta^k & \overset{\ell_i}{\to} \Delta^{k+1} \qquad (\R^{k+1} \hookrightarrow \R^{k+2}) \\
(x_0, \dots, x_k) & \mapsto (x_0, \dots, x_{i-1}, 0, x_i, \dots, x_k)
\end{align}
$$

例子 1.1.4 (从 $\Delta^0$ 到 $\Delta^1$ 的 $i$-面包含映射)

  • 考虑 $\ell_0 : \Delta^0 \to \Delta^1$, 意味着有 $\set{1} \hookrightarrow [0, 1]$, 即将右端点映射至标注区间 $[0,1]$ 上;
  • 考虑 $\ell_1 : \Delta^0 \to \Delta^1$, 意味着有 $\set{0} \hookrightarrow [0, 1]$, 即将左端点映射至标准区间 $[0,1]$ 上.

定义 1.1.5 (第 $i$ 面的退化映射)

设有 $k \in \N^\times$ 以及 $0 \leq i < k$, 则称满射 $\gamma_i$ 为 $k$ 维单纯形的 第 $i$ 面的退化映射 ($i$-th degenerate projection), 并定义为: $$
\begin{align}
\Delta^{k} & \overset{\gamma_i}{\to} \Delta^{k-1} \qquad (\R^{k+1} \rightarrowtail \R^k) \\
(x_0, \dots, x_k) & \mapsto (x_0, \dots, x_i + x_{i+1}, \dots, x_k)
\end{align}
$$

定义 1.1.6 (奇异单纯形)

设有 $X \in \operatorname{Top}$ 以及 $k \in \N$:

  • 称 $X$ 上的 奇异 $k$ 维单纯形 (singular $k$-simplex) 为一个从 $\Delta^k$ 到 $X$ 的连续映射 $\sigma : \Delta^k \to X$;
  • 所有 $X$ 中的奇异 $k$ 维单纯形所构成的集合则定义为 $(\operatorname{Sing} X)_k \coloneqq \operatorname{Hom}_{\operatorname{Top}}(\Delta^k, X)$.

定义 1.1.7 (奇异单纯形的面)

设有奇异 $k$ 维单纯形 $\sigma : \Delta^k \to X$, 对任意 $i \in \N$ 以及 $0 \leq i \leq k$, 则称 $\sigma_i$ 为 奇异单纯形的面 (faces of a singular $k$-simplex), 并定义为: $$
\begin{align}
\Delta^{k-1} & \overset{\sigma_i}{\to} X \\
\sigma & \circ \ell_i
\end{align}
$$

注释

事实上奇异单纯形的面 $\sigma_i$ 无非就是连续映射的复合 $\Delta^{k-1} \overset{\ell_i}{\to} \Delta^k \overset{\sigma}{\to} X$, 其的几何呈现可参考下图:

image-20221125005041178

定义 1.1.8 (奇异链与奇异链群)

设有 $k \in \Z$ 以及 $X \in \operatorname{Top}$:

  • 称 $S_k(X)$ 是由所有在 $X$ 中的奇异 $k$ 维单纯形作为基所生成的自由阿贝尔群为 奇异链群 (singular chain groups), 定义为: $$
    S_k(X) \coloneqq \begin{dcases}
    \bigoplus_{\sigma : \Delta^k \to X} \Z \sigma, & \quad k \geq 0 \\
    \set{0}, & \quad k < 0
    \end{dcases}
    $$

  • 称 $S_k(X)$ 中的元素为 奇异链 (singular chain), 奇异链是奇异单形的整数系数线性组合, 即对于任意 $c_k \in S_k(X)$: $$
    c_k = a_1 \sigma_k^1 + \dots + a_r \sigma_k^r, \quad a_i \in \Z, \sigma_k^i : \Delta^k \to X
    $$

注释

事实上现在我们假设有 $X$ 中的连续映射 $f : X \to Y$ 就可以构造出函子 $S_k : \operatorname{Top} {\to} \operatorname{Ab}$, 使得对于任意 $[\Delta^k \overset{\sigma}{\to} X] \in S_k(X)$, 定义: $$
\begin{align}
S_k(X) & \overset{f_{\sharp}}{\to} S_k(Y) \\
[\Delta^k \overset{\sigma}{\to} X] & \mapsto f \circ \sigma
\end{align}
$$ 使得下图可交换: $$
% https://darknmt.github.io/res/xypic-editor/#eyJub2RlcyI6W3sicG9zaXRpb24iOlswLDFdLCJ2YWx1ZSI6IlNfayhYKSJ9LHsicG9zaXRpb24iOlsxLDFdLCJ2YWx1ZSI6IlNfayhZKSJ9LHsicG9zaXRpb24iOlswLDBdLCJ2YWx1ZSI6IlgifSx7InBvc2l0aW9uIjpbMSwwXSwidmFsdWUiOiJZIn1dLCJlZGdlcyI6W3siZnJvbSI6MCwidG8iOjEsInZhbHVlIjoiZl97XFxzaGFycH0gPSBTX2soZikiLCJsYWJlbFBvc2l0aW9uIjoicmlnaHQifSx7ImZyb20iOjIsInRvIjozLCJ2YWx1ZSI6ImYifSx7ImZyb20iOjIsInRvIjowLCJ2YWx1ZSI6IlNfayIsImxhYmVsUG9zaXRpb24iOiJyaWdodCJ9LHsiZnJvbSI6MywidG8iOjEsInZhbHVlIjoiU19rIn1dfQ==
\xymatrix{
X \[email protected]{->}[r]^{f} \[email protected]{->}[d]_{S_k} & Y \[email protected]{->}[d]^{S_k} \\
S_k(X) \[email protected]{->}[r]_{f_{\sharp} = S_k(f)} & S_k(Y)
}
$$

定义 1.1.9 (边缘算子)

设有 $k \in \Z$, 对象 $X \in \operatorname{Top}$, 函子 $S_k : \operatorname{Top} {\to} \operatorname{Ab}$ 以及由生成集 $(\operatorname{Sing} X)_k \sub S_k(X)$ 所生成的奇异链群 $S_k(X)$, 则称 $\partial_k$ 为 $S_k(X)$ 与 $S_{k-1}(X)$ 之间的 边缘算子 (boundary operation), 并定义为: $$
\begin{align}
S_k(X) & \overset{\partial_k}{\to} S_{k-1}(X) \\
[\sigma \in (\operatorname{Sing} X)_k] & \mapsto \sum_{i = 0}^k (-1)^i \sigma_i
\end{align}
$$ 若对任意另一拓扑空间 $Y \in \operatorname{Top}$, 有连续映射 $f : X \to Y$, 则其必然保有函子的同态性, 即使得在 $\operatorname{Ab}$ 中下图可交换: $$
% https://darknmt.github.io/res/xypic-editor/#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
\xymatrix{
S_k(X) \[email protected]{->}[d]_{\partial_k} \[email protected]{->}[r]^{f_{\sharp}} & S_k(Y) \[email protected]{->}[d]^{\partial_k} \\
S_{k-1}(X) \[email protected]{->}[r]_{f_{\sharp}} & S_{k-1}(Y)
}
$$ 要令上图交换, 只需设任意 $[\Delta^k \overset{\sigma}{\to} X] \in S_k(X)$, 则: $$
\begin{align}
f_\sharp(\part_k \sigma) & = f_\sharp \left( \sum_{i=0}^k (-1)^i \sigma_i \right) \\
& = f_\sharp \left( \sum_{i=0}^k (-1)^i (\sigma \circ \ell_i) \right) & [\text{奇异单纯形的面}] \\
& = \sum_{i=0}^k f_\sharp[(-1)^i (\sigma \circ \ell_i)] & [\text{群同态}] \\
& = \sum_{i=0}^k (-1)^i (f \circ \sigma \circ \ell_i) \\
& = \sum_{i=0}^k (-1)^i (f \circ \sigma)_i \\
& = \part_k(f \circ \sigma) = \part_k(f_\sharp \sigma) \\
\end{align}
$$

注释

事实上边缘算子 $\partial_k$ 的定义是由 自由构造 (free construction) 所保证的, 我们所关注的是其的生成集 $(\operatorname{Sing} X)_k$, 若它的奇异链群是透过自由函子 $\varphi : (\operatorname{Sing} X)_k \to S_k(X)$ 所生成的, 那么则存在唯一态射 $\partial_k : S_k(X) \to S_{k-1}(X)$ 使得有: $$
\begin{align}
(\operatorname{Sing} X)_k & \overset{\psi}{\to} S_{k-1}(X) \\
\partial_k & \circ \varphi
\end{align}
$$ 即满足了关于自由构造的泛性质.

命题1.1.10 (单纯恒等式)

设有 $i, j, k \in\N$, 若满足条件 $1 \leq j + 1 \leq i \leq k$ 并且 $k \geq 2$, 则可使得下图可交换: $$
% https://darknmt.github.io/res/xypic-editor/#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
\xymatrix{
\Delta^{k-2} \[email protected]{->}[r]^{\ell_j} \[email protected]{->}[d]_{\ell_{i-1}} & \Delta^{k-1} \[email protected]{->}[d]^{\ell_i} \\
\Delta^{k-1} \[email protected]{->}[r]_{\ell_j} & \Delta^k
}
$$ 即有 $\ell_j \circ \ell_{i-1} = \ell_i \circ \ell_j$, 该恒等式是 单纯恒等式 (simplicial identity) 的一部分.

证明

由条件得知 $j \leq i-1$ 并且 $j-1 \leq i-2$, 那么则有: $$
\begin{align}
(\ell_j \circ \ell_{i-1})(x_0, \dots, x_k) & = \ell_j(\ell_{i-1}(x_0, \dots, x_k)) \\
& = \ell_j(x_0, \dots, x_{i-2}, 0, x_{i-1}, \dots, x_k) \\
& = (x_0, \dots, x_{j-1}, x_{i-2}, 0, 0, x_j, x_{i-1}, \dots, x_k) \\
\end{align}
$$ 那么由单纯形定义可得知 $x_0 + \dots + x_{j-1} + x_{i-2} + x_j + x_{i-1} + \dots + x_k = 1$, 而加法满足交换律, 显然将下标 $+1$ 使得元素重排就有: $$
(x_0, \dots, x_j, x_{i-1}, 0, 0, x_{j-1}, x_i, \dots, x_k) = \ell_j(x_0, \dots, x_{i-1}, 0, x_{i}, \dots, x_k) = (\ell_j \circ \ell_i)(x_0, \dots, x_k)
$$ 使得 $\ell_j \circ \ell_{i-1} = \ell_i \circ \ell_j$ 成立.

命题 1.1.11 (边缘两次复合为 $0$)

对于任意奇异 $k$ 维单纯形 $\sigma : \Delta^k \to X$, 则 $\partial^2 = \partial \circ \partial = 0$.

证明

$$
\begin{align}
\partial_{k-1}(\partial_k \sigma) & = \partial \left(\sum_{i = 0}^k (-1)^i \sigma_i \right) \\
& = \sum_{j = 0}^{k-1} \sum_{i = 0}^k (-1)^{i+j} (\sigma_i)_j = \sum_{j = 0}^{k-1} \sum_{i = 0}^k (-1)^{i+j} (\sigma \circ \ell_i \circ \ell_j) \\
& = \sum_{0 \leq i \leq j \leq k-1} (-1)^{i+j}(\sigma \circ \ell_i \circ \ell_j) + \sum_{1 \leq j+1 \leq i \leq k} (-1)^{i+j}(\sigma \circ \ell_i \circ \ell_j) \\
& = \sum_{0 \leq i \leq j \leq k-1} (-1)^{i+j}(\sigma \circ \ell_i \circ \ell_j) + \sum_{1 \leq j+1 \leq i \leq k} (-1)^{i+j}(\sigma \circ \ell_j \circ \ell_{i-1}) \\
& = \sum_{0 \leq i \leq j \leq k-1} (-1)^{i+j}(\sigma \circ \ell_i \circ \ell_j) - \sum_{0 \leq j \leq i \leq k-1} (-1)^{i+j}(\sigma \circ \ell_j \circ \ell_i) \\
& = 0
\end{align}
$$

注释
  • 注意这里的边缘算子省略了下标, 事实上应是 $\part_{k-1} \circ \partial_k$, 因为 $S_k(X) \overset{\part_k}{\to} S_{k-1}(X) \overset{\part_{k-1}}{\to} S_{k-2}(X)$.
  • 其中的 $\displaystyle{\sum_{0 \leq i \leq j \leq k-1}}$ 以及 $\displaystyle{\sum_{1 \leq j+1 \leq i \leq k}}$ 纯粹是为了凑出满足单纯恒等式而设的值, 其中第 5 步是将重新编号 $i = i-1$.

定义 1.1.11 (奇异链复形)

设有阿贝尔群范畴 $\operatorname{Ab}$, 则 $\operatorname{Ab}$ 中的 奇异链复形 (singular chain complex), 是由以下条件所构成的:

  • $k$ 维链群 (chain group):一族自由阿贝尔群 $\set{S_k}$;
  • $k$ 维边缘算子 (boundary operation):一族群同态 $\set{\part_k : S_k \to S_{k-1}}$;

记为 $S = \set{S_k, \part_k}$, 并排列以下一串群同态序列: $$
\dots \to S_{k+1} \overset{\part_{k+1}}{\to} S_k \overset{\part_k}{\to} S_{k-1} \overset{\part_{k-1}}{\to} S_{k-2} \to \dots
$$ 使得对于任意维度 $k$ 都有 $\part_{k-1} \circ \part_k = 0$ (或记为 $\part^2 = 0$), 即两次边缘为零.