引言

由于最近打算多学一点抽象代数的知识,鉴于之前已有范畴论方面的铺垫,并且希望透过范畴论的方式来学习抽象代数,因此采用了 Algebra: Chapter 0 - PaoloAluffi 这本书来作为我的自学参考书。本篇内容将从第二章 开始(跳过基础的集合论与范畴论介绍),并以随手的方式速记。

Chapter II - Groups, first encounter

1. Definition of group(群的定义)

1.2. Definition

设有 nonempty set \(G\),以及 binary operation \(\bullet : G \times G \to G\),即有群 \((G, \bullet)\) ,并满足如下定律:

  • Binary operation \(\bullet\) 满足结合律:\[(\forall g, h, k \in G): (g \bullet h) \bullet k = g \bullet (h \bullet k)\]

  • 对于 \(\bullet\) ,存在 identity element \(e_G\)\[(\exists e_G \in G) (\forall g \in G): g \bullet e_G = g = e_G \bullet g\]

  • 所有 \(G\) 中的元素 \(g\) 均存在逆元 \(h\),即有:\[(\forall g \in G)(\exists h \in G): g \bullet h = e_G = h \bullet g\]

1.3. Basic properties(基本特性)

从 groupoid 的角度出发,identity \(e_G\) 将标记为 \(1_*\).

Proposition 1.6.

​ 若 \(h \in G\)\(G\) 的 identity ,有 \(h = e_G\).

Proof.
\[h = e_G h = e_G\]

(其中 \(e_G\) 被称为 left identity 而 h 则为 right identity)

Proposition 1.7. Inverse is uniqueness(逆元的唯一性)

​ 若存在逆元 \(h_1, h_2 \in G\),有 \(h_1 = h_2\)

Proposition 1.8. Cancellation(可消除性)

​ 设 \(G\) 为群,并有 \(\forall a, g, h \in G\)

\[ga = ha \implies g = h,\ ag = ah \implies g = h\]

Proof.

\[ \begin{aligned} ga = ha & \implies (ga)a^{-1} = (ha)a^{-1} \\ & \implies g(a\ a^{-1}) = h(a\ a^{-1}) \\ & \implies g\ e_G = h\ e_G \\ & \implies g = h \end{aligned} \]

当然,并不是所有的 operation 都存在 cancellation 的 ,例如 \(\Bbb{R}\)\(1 \cdot 0 = 2 \cdot 0\) 使得 \(1 \neq 2\)。这里的问题显然就是因为 \(0\)\(\Bbb{R}\) 中不存在任何的逆元,那么 \(\Bbb{R}\) 便不满足群中所有元素均存在逆元的定律,因此它不能被视为一个群。但若果把 \(0\) 从中剔除,即有:\[R^* := R \setminus \{0\}\] 此处的 \(R^*\) 便符合逆元的条件了。

1.5. Commutative groups(交换群)

由于群的定义并不存在对于 binary operation \(\bullet\) 可交换的特性,因此需要基于群的三条定义额外添加交换律,即有:\[(\forall g, h \in G): g \bullet h = h \bullet g\] 同时满足群公理以及该交换律的结构被称为交换群(或 abelian groups,阿贝尔群)。

1.6. Order(阶)

通俗的说,在群论中 order of a group 指的就是某个群的 cardinality。

Definition 1.9.

​ 对于一个群 \(G\) 中的元素 \(g\)\(g^n = e\)(其中 \(n\)\(\Bbb{Z}^+\)\(e\) 为 identity),则其拥有 finitre order(有限阶)。在这个实例中,若果 \(g^n = e\),则阶 \(|g|\) 等于最小的正整数 \(n\)。若果 \(g\) 中不存在 \(n\)\(n\)\(\infty\)),则 \(g\) 有 infinite order(无限阶),并记为 \(|g| = \infty\)

Lemma 1.10.

​ 对于任意正整数 \(n\) ,有 \(g^n = e\),那么 \(|g| \leq n\) ,更精确的说 \(|g|\)\(n\) 的 divisor 。

Corollary 1.11.

​ 令元素 \(g\) 拥有 finite order 且 \(N \in \Bbb{Z}\),那么有:\[g^N = e \iff N\ is\ a\ multiple\ of\ |g|\]

Definition 1.12.

​ 若果 \(G\) 是有限集合,那么阶 \(|G|\) 则是其元素的数目。若为 \(G\) 无穷大则记为 \(|G| = \infty\)