前言

上一章介绍了除集合范畴以外一些其他范畴的例子,而对于任意范畴而言,往往是由态射把不同对象链接在一起形成某些关系。而既然我们已经知道了一些不同种类态射与范畴,当然对象也不会例外,透过对对象种类的划分,我们同样地可以得出一些不同的结论出来,因此我们今天就来探讨下关于范畴内对象的一些关系吧。

泛构造(Universal Construction)

在范畴论的语言中,我们常常都会把对象之间透过态射连接起来,但我们从来都没有 "谈对象",例如在使用 \(Commuting-diagram\) 构造一个 \(C_{Set}\) 的范畴时我们从来就没有关心过集合里面究竟是由啥具体的整数被映射至啥具体的整数,如:1 / 2 / 3 等等,他们通常只会在具体的例子中出现,而不会在构造时被搬上台面。所以要知道在范畴论上,我们通常谈的是一个被抽象出来的泛概念,对于任何对象我们不会谈对象的本身,而只会把对象与态射连接起来,给定一些特性或特质,然后我们可以给满足某些特性的对象分类,于是乎我们会说:"哦!原来满足这些特征那就是一个始对象,而满足这些特征那就是终对象!"。

范性质(Universal Property)

对象的种类(Type of Objects)

透过泛构造,我们可以在不提及对象是什么的情况下,给定不同的规则,形成不同种类的对象,下面则会列出一些常见的对象类型。

始对象(Initial Object)

始对象有着初始,开始的意思,其在范畴中那意味着最初始的那个对象,任何一切都是由此处开始,当然地这个对象也只能够由其本身存在的唯一态射给映射到别的对象中,公理化的性质可描述为: - 当 \(I\) 作为始对象时,\(\forall X \in C, Hom_C(I, X)\) 当中仅存在唯一态射(Unique morphism) - 当 \(I\) 作为始对象时,\(\forall X \in C, |C(I, X)| = 1\)

下面是不同范畴作为始对象的一些例子: - 对于 \(C_{Set}\),始对象则是空集合,因为对于集合来说,存在唯一态射的元素(对象)则只有空集合。(下设 \(I\) 作为始对象,当我们存在映射 \(f : I \to X\) 时,把其作为笛卡儿积 \(I \times X \in f\) 来看待,这时候它仅存在唯一元素,也就是 \(\varnothing \to X\),这正正符合了满射函数的定律,我们称之为空函数。) - 对于 \(C_{Group}\),始对象是平凡群(Trivial Group)。(由单元素组成的群,其运算只有 \(e + e = e\)

终对象(Terminal Object)

做人要有始有终,那范畴论当然也不例外!而对于终对象,其与始对象的性质完全相反,公理化的性质可描述为: - 当 \(T\) 作为终对象时,\(\forall X \in C, Hom_C(X, T)\) 当中仅存在唯一态射 - 当 \(T\) 作为终对象时,\(\forall X \in C, |C(X, T)| = 1\)

下面是不同范畴作为终对象的一些例子: - 对于 \(C_{Set}\),终对象则是单元素集合(Singleton Set),因为对于集合来说,我们没办法从非空集合态射到一个空集合(试想一下若果培域是空集,那么就不存在任何态射从定义域映射到值域了),存在唯一态射的元素(对象)则只有单元素集合。 - 对于 \(C_{Group}\),终对象也是平凡群。

零对象(Zero Object(or Null Object))

当一个对象,它同时是始对象以及终对象时,那么我们把它称为零对象。因此它的性质可被描述为: - 当 \(0\) 作为零对象时,\(\forall 0 \in C, 有 \exists! f \exists! g. f : A \to 0 \land g : 0 \to A\)

下面是不同范畴作为零对象的一些例子: - 由于平凡群同时是始对象与终对象,因此它自然是一个零对象。